Teorema de Rouché-Fontené
El teorema de Rouché - Fontene es un teorema de álgebra lineal que proporciona el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales conociendo el rango de su matriz aumentada (en) y la matriz de coeficientes. Este teorema se conoce con los nombres de Kronecker - Capelli (en) en Rusia , Rouché-Capelli en Italia y en los países de habla inglesa y Rouché- Frobenius en España y América Latina .
Declaración formal
Un sistema de ecuaciones lineales con n variables, de la forma AX = b , tiene solución si y solo si el rango de la matriz de coeficientes A es igual al de la matriz aumentada ( A | b ). Si hay soluciones, entonces forman un subespacio afín de ℝ n de dimensión n - rango ( A ). En particular :
- si n = rango ( A ), la solución es única;
- de lo contrario, existen infinitas soluciones.
Ejemplos de
- Considere el sistema de ecuaciones
x + y + 2 z = 3
x + y + z = 1
2 x + 2 y + 2 z = 2.
La matriz de coeficientes es
A=(112111222){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\\ end {pmatrix}}}
y la matriz aumentada es
(A|B)=(112311112222).{\ displaystyle (A | B) = \ left ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \ end {matriz}} \ derecha).}
Dado que estas dos matrices tienen el mismo rango, a saber 2, hay al menos una solución; y dado que su rango es estrictamente menor que el número de incógnitas (siendo este último 3) hay infinidad de soluciones.
- Por otro lado, si consideramos el sistema
x + y + 2 z = 3
x + y + z = 1
2 x + 2 y + 2 z = 5,
la matriz de coeficientes es
A=(112111222){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\\ end {pmatrix}}}
y la matriz aumentada es
(A|B)=(112311112225).{\ displaystyle (A | B) = \ left ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 5 \ end {matriz}} \ derecha).}
En este ejemplo, la matriz de coeficientes es de rango 2, mientras que la matriz aumentada es de rango 3; por tanto, este sistema de ecuaciones no tiene solución. De hecho, un aumento en el número de líneas linealmente independientes hace que el sistema de ecuaciones sea inconsistente.
Notas y referencias
-
FONTENÉ Georges, Francés, 1848-1923 sobre Chronomath.
- (en) Alberto Carpinteri (it) , Mecánica estructural: un enfoque unificado , Taylor & Francis ,1997, 761 p. ( ISBN 978-0-419-19160-5 ) , pág. 74
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