Teorema de Lindemann-Weierstrass

En las matemáticas , el Lindemann-Weierstrass establece que si los números algebraicos $alfa 1 , ..., α n$ son linealmente independientes en el campo de Q de los números racionales , entonces sus exponenciales $ae α 1 , ..., e α n$ son algebraicamente independientes sobre Q . En otras palabras, la extensión Q $(e α 1 ,\dots, e α n )$ de Q es trascendente del grado $n$ .

Una formulación equivalente del teorema es la siguiente: si $α 0 ,\dots, α n$ son números algebraicos distintos, entonces $e α 0 ,\dots, e α n$ son linealmente independientes en el campo Q de números algebraicos, es decir: ${\ Displaystyle a_ {0} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {0}} + a_ {1} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {1}} + \ ldots + a_ { n} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {n}} \ neq 0}$ para todos los números algebraicos $a i$ no todos cero.

En 1882, este teorema fue anunciado por Ferdinand von Lindemann al final de su artículo sobre el caso especial $n = 1$ , y fue demostrado inmediatamente por Karl Weierstrass , quien distribuyó su manuscrito pero pospuso la publicación hasta 1885.

El caso $n = 1$

En 1882, Lindemann había esbozado la prueba de que para cualquier no-cero número algebraico $una$ , el número $ae una$ es trascendente (que de nuevo demostró que $e$ es trascendente y demostró que $π$ es también). Este es el caso $n = 1$ del teorema demostrado por Weierstrass.

De hecho (con la primera formulación),

$a$ es distinto de cero es equivalente a: el conjunto ${ a }$ es linealmente libre en Q , y
$e a$ es trascendente es equivalente a: el conjunto ${e a }$ es algebraicamente libre en Q

Usando la segunda formulación, podemos reescribirla:

$a$ es distinto de cero es equivalente a: $0$ y $a$ son distintos, y
$e una$ es trascendental equivalente a: $E 0$ y $E tiene$ son linealmente independientes de Q .

$P$ -adic conjetura

El análogo $p$ -ádico del teorema de Lindemann-Weierstrass es la siguiente conjetura : "son [ $p$ un número primo y] $β 1 , ..., β n$ de los números $p$ -ádicos algebraicos [ Q -linéairement independiente] pertenecientes al dominio de convergencia del exponencial p -ádico (en) $exp p$ . Entonces $n$ números $exp p (β 1 ), ..., exp p (β n )$ son algebraicamente independiente de Q . "

Notas y referencias

(en) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Teorema de Lindemann - Weierstrass ” ( ver la lista de autores ) .

(en) Alan Baker , Teoría de los números trascendentales , Cambridge University Press,1990( 1 st ed. 1975) ( ISBN 9780521397919 , leer en línea ) , cap. 1, Teorema 1.4.
(en) David E. Rowe , “acontecimientos históricos en el fondo del séptimo problema de Hilbert Paris ” , en David E. Rowe y Wann-Sheng Horng, un equilibrio delicado: Perspectivas Globales sobre la innovación y la tradición en la historia de Matemáticas , Birkhäuser ,2015, p. 211-244.
(de) KW Weierstrass, " Abhandlung de Zu Lindemann:" Über die Ludolph'sche Zahl " " , Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. , vol. 5,1885, p. 1067-1085 ( DOI 10.1007 / 978-1-4757-4217-6_23 ).
(en) Michel Waldschmidt , " Problemas diofantinos abiertos " , Revista matemática de Moscú , vol. 4, n o 1,2004, p. 245-305 ( leer en línea ), Conjetura 3.11.

Ver también

Enlace externo

(en) “ Prueba del teorema de Lindemann-Weierstrass y que ey $π$ son trascendentales ” (demostración tomada de Baker 1990 y detallada), en el sitio PlanetMath .

Teorema de Lindemann-Weierstrass

El caso n = 1

P -adic conjetura

Notas y referencias

Ver también

Artículos relacionados

Enlace externo

El caso $n = 1$

$P$ -adic conjetura