Sistema ternario

El sistema ternario (o trinario ) es el sistema numérico que utiliza la base tres . Las figuras ternarias son conocidas Como trit ( tr inary dig it ), análoga a bit .

¿Ternario o trinario?

Las expresiones "ternario" y "trinar" se toman prestadas del latín bajo trinarius "que contiene el número tres, ternario".

Ternaria apareció más tarde que el XIV °  siglo , fue ampliamente utilizado hasta nuestro tiempo e integrado en el diccionario de la Academia Francesa en 1718.

Trinaire se ha utilizado como sinónimo de ternario desde al menos 1830, no goza de un reconocimiento tan amplio, estando presente solo en unos pocos diccionarios. También está presente con un uso similar en otros idiomas como el inglés con ternario y trinario .

Por tanto, estos dos términos son aceptables, incluso si los ternarios se benefician de una mayor difusión.

Comparación con otras bases

Los números utilizados en el sistema ternario son de tres tipos, 0, 1 y 2. Tres se escribe como "10". Por lo tanto, cuatro es "11" y nueve es "100".

Ternario estándar (0 a 1000)
Binario 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 10,000 10010 10101 11011
Ternario 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101 102 110 121 200 210 1000
Senaire 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 24 30 33 43
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 dieciséis 18 21 27
Ternario estándar (más de 1000)
Binario 100.000 100 100 110110 1.000.000 1010001 1100100 10000111 11011000 100.000.000 101101101
Ternario 1012 1100 2000 2101 10,000 11202 12000 22000 100111 111112
Senaire 52 100 130 144 213 244 343 1000 1104 1405
Decimal 32 36 54 64 81 100 135 216 256 365
poderes de tres
Binario 11 1001 11011 1010001 11110011 1011011001 1000100010111 100110100001
Ternario 10 100 1000 10,000 100.000 1.000.000 10,000,000 100.000.000
Senaire 3 13 43 213 1043 3213 14043 50213
Decimal 3 9 27 81 243 729 2187 6561

Fracciones

Ternario trabaja divisiones por potencias de tres , así como senarias y nonarias , a diferencia de binarias y hexadecimales ("  potencias de dos  " bases) o decimales .

Pero, el ternario 10 (tres) no es un múltiplo de 2. No existe "la misma cantidad cuando se divide por dos" como senario 0.3 o decimal 0.5. Entonces, el recíproco de los números pares son todos los lugares decimales infinitos .

Fracciones ternarias
Fracciones
(senario) 		1/2 1/3 1/4 1/5 1/10 1/11 1/12 1/13 14/1 1/43
Fracciones
(decimal) 		1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/27
Binario 0,1 0,01 ... 0,01 0,0011 ... 0,001 ... 0,001 ... 0,001 0,000111… 0,00011… ※
Ternario 0,11 ... 0,1 0,02 ... 0,0121 ... 0,011 ... 0,010212 ... 0,01 ... 0,01 0,0022 ... 0,001
Senaire 0,3 0,2 0,13 0,11 ... 0,1 0,05 ... 0,043 0,04 0,033 ... 0,012
Decimal 0,5 0,33 ... 0,25 0,2 0,166… 0,142857 ... 0,125 0,11 ... 0,1 0,037 ...

※ 0,001 (3) = 0,000010010111101… (2)

Notación ternaria equilibrada

Un sistema de numeración llamado ternario balanceado  (en) usa dígitos con los valores -1, 0 y 1. Esta combinación es particularmente interesante para las relaciones ordinales entre dos valores, donde las tres relaciones posibles son menores, iguales y mayores en . El ternario equilibrado se cuenta de la siguiente manera: (en este ejemplo, el símbolo 1 denota el dígito -1, pero alternativamente, para facilitar el uso, se puede usar para denotar -1 y + para denotar +1).

Ternario equilibrado
Decimal -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Senaire -10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 10
Ternario equilibrado 1 10 1 11 11 1 0 1 1 1 0 1 1 1 10 11 1 11 1 1 0

El ternario desbalanceado se puede convertir a notación ternaria balanceada sumando 1111… con acarreo, luego restando 1111… sin acarreo. Por ejemplo, 021 3 + 111 3 = 202 3 , 202 3 - 111 3 = 1 1 1 3 (BAL) = 7 10 .

Usando el ternario balanceado

En electrónica

El ternario balanceado se representa fácilmente mediante señales electrónicas, como un potencial que puede ser negativo , neutro o positivo . Por lo tanto, un cable eléctrico puede transportar más información en ternario (tres estados) que en binario (dos estados). Así, el sistema ternario en electrónica permite reducir el número de componentes y, por tanto, el consumo eléctrico. La ventaja se puede calcular con log (3) / log (2) = ~ 1.584 9 bits por trit. Es decir, alrededor del 60% más de información en un tipo que en un poco, o más pragmáticamente, alrededor del 40% menos de cables eléctricos (para la misma cantidad de información).

En 1958 en la Unión Soviética , el equipo de Nikolay Brusentsov  (en) y Sergei Sobolev en la Universidad Estatal de Moscú ha desarrollado una computadora ternaria , la Setun , basada en el uso de láminas laminadas miniaturas y diodos utilizados para crear un sistema basado en tres -Lógica estatal. En uso, estos elementos han demostrado ser más rápidos, más fiables, más duraderos y con menos consumo de energía que sus competidores binarios (al menos antes de que la URSS tuviera acceso a los transistores). El desarrollo del Setun tomó siete años y la computadora estuvo operativa tan pronto como fue ensamblada. Se produjeron unas 50 máquinas, pero el programa, considerado un capricho de los académicos en un país que tardó en comprender la importancia de la informática, fue rápidamente descartado en favor de computadoras binarias más mundanas.

En desarrollo de software

Los procesadores de computadoras realizan números de comparación. Surgen tres casos: un número es mayor , igual o menor que otro. Esta comparación entre dos números se realiza restando estos dos números, quedando el resultado almacenado en un registro del procesador. El asociada registro de estado a continuación indica si el resultado es negativo , cero o positivo (el cero de la bandera indica si o no cero y la sesión bandera indica el signo ).

Esta capacidad ternaria de los procesadores a veces se aprovecha para lograr operaciones rápidas. Por ejemplo, tome el caso de una función que devuelve un código que puede tomar tres estados diferentes. Académicamente, esta función se implementa al devolver un tipo enumerado con tres valores posibles. Por tanto, el código de retorno de esta función debe compararse con cada uno de estos tres valores para realizar la operación asociada a cada estado. Con esta capacidad de procesador, esta función se puede implementar devolviendo un entero con signo . La determinación del código de retorno es mucho más rápida porque son las banderas (bits) del registro de estado las que se comprueban directamente.

Ejemplo de una función en C que aprovecha la capacidad ternaria del procesador para distinguir entre números negativos , cero y positivos .

int fonction () { int code_retour; // [...] traitement qui change la valeur du 'code_retour' return code_retour; } void utilisateur() { int code = fonction (); if (code == 0) //vérifie le bit 'Zero' du registre d'état code_nul(); // => opération associée au code nul else if (code > 0) //vérifie le bit 'Sign' du registre d'état code_positif(); // => opération associée au code positif else code_negatif(); // => opération associée au code négatif }

En transacción monetaria

Un sistema monetario que utiliza el ternario equilibrado resolvería el problema de la acumulación de monedas pequeñas o por el contrario de la falta de dinero. Para eso es necesario acuñar monedas de valor 1, 3, 9, 27… Expresando los precios en ternario estándar, tenemos una forma de recargar utilizando como máximo solo dos monedas de cada valor. Pero si expresamos los precios en ternario equilibrado, entonces cada 1 representa una moneda que el cliente debe entregar al comerciante y cada -1 una moneda que el comerciante debe devolverle, el valor de las monedas viene determinado por la posición del comerciante. dígito en el número. Por ejemplo, para pagar un precio de 1-10 (que es 6 en decimal), el cliente da una moneda de 9 y el comerciante le da una moneda de 3. Siendo también probable el 1 y el -1, la distribución de las monedas permanece uniforme. Ya no vamos al banco excepto para depositar o retirar monedas grandes.

En otras áreas

El ternario equilibrado tiene otras aplicaciones. Por ejemplo, una balanza convencional de dos platos , con una masa marcada para cada una de las primeras n potencias de 3, puede pesar objetos moviendo las masas marcadas entre los dos platos y la mesa. Ningún otro sistema de masas marcadas puede funcionar tan bien con tan pocas masas marcadas. Por ejemplo, con masas marcadas para cada potencia de 3 hasta 81 = 3 4 un objeto de 60  g se pesará perfectamente con una masa de 81  g en el otro plato, la masa de 27  g en el primer plato, la masa de 9  g en la otra bandeja, la masa de 3  g en la primera bandeja y la masa de 1  g restante. 60 = 1 1 1 1 0.

Adición ternaria

Para realizar adiciones ternarias existen varias soluciones. El primero explica de qué estará hecho el segundo con la cabeza. Consiste en convertir a decimal (cuidado, todos los números en binario en el ternario son decimales).

Ejemplo:

01010101010101010101+ 11011110101110101011= 12021211111211111112 (résultat décimal ou ternaire)

Las adiciones ternarias se realizan mediante conversión decimal. Ejemplo:

2102120212+ 1110210212= 3212330424 (conversion décimale) 10220101201 (résultat ternaire)

En adiciones ternarias, es suficiente como en decimal poner una unidad arriba. Ejemplos:

  • decimal
99999+ 99999= 199998 9+9=18 on pose 8 on retient 1 qui vient s'ajouter aux autres chiffres
  • ternario
2102121+ 2121201= 12001022

0 <1 <2 2 es mayor que 1 que es mayor que 0 1 <2 <0 1 es mayor que 0 que es mayor que 2 2 <0 <1 0 es mayor que 2 que es mayor que 1

3==0 s'il y a un résultat qui est a 3 on pose 0 4==1 si un résultat est a 4 on pose une unité au-dessus 1
if 33 s'il y a un résultat de 33 on pose 1 puis 0 sur le dernier 3 == 10 if 44 s'il y a un résultat de 44 on pose 1 puis 2 sur le dernier 4 == 12
if 333 de suite == 110 if 444 de suite == 112

Ejemplo:

212110+ 212021= 424131 conversion décimale 1201201 résultat ternaire

Representación ternaria compacta

El sistema ternario es ineficaz para el uso humano, al igual que el binario . Por lo tanto, el sistema nonario ( base 9 , cada dígito representa dos dígitos de base 3 ) o el sistema septemvigésimal  (en) ( base 27 ) (cada dígito representa tres dígitos de base 3 ) se usa a menudo, de manera similar al uso de el sistema octal y el sistema hexadecimal en lugar del sistema binario . El sistema ternario también tiene el análogo de un byte , llamado tryte.

Notas y referencias

  1. Introducción a la astronomía ,1353.
  2. J. Lefevre, La Vieille ,1380, p.  265.
  3. Mersenne, Armonía universal ,1636, p.  299.
  4. Lavoisier, Química, t.  1 ,1789, p.  207.
  5. D'Indy, Composición musical, t.  1 , 1897-1900, pág.  41.
  6. Enciclopedia Larousse, Suplemento , Larousse,1968.
  7. "  Definición de ternario  " , en National Center for Textual and Lexical Resources (consultado el 15 de mayo de 2018 ) .
  8. Legendre, Teoría de los números, t.  1 ,1830, p.  361.
  9. P. Leroux, Humanidad ,1840, p.  828.
  10. Jacques Bourdin, las extensiones de la gramática general en Francia en el XIX ° siglo , Prensas universitarias de Franco Condado ,2005, 272  p. ( ISBN  978-2-84867-085-0 ) , pág.  163.
  11. "  Definición de TRINAIRE  " , en Centro Nacional de Recursos Textuales y Léxicos (consultado el 15 de mayo de 2018 ) .
  12. "  Definición de TRINAIRE adj.  » , Sobre Le Trésor de la Langue (consultado el 15 de mayo de 2018 ) .
  13. (in) "  trinary - Wiktionary  " en en.wiktionary.org (consultado el 16 de mayo de 2018 ) .
  14. (en) Andrew Buntine, "  Las máquinas ternarias equilibradas de la Rusia soviética  " , en dev.to ,21 de noviembre de 2016.
  15. GH Hardy y EM Wright ( traducido  del inglés por François Sauvageot, pref.  Catherine Goldstein ), Introducción a la teoría de los números [“  Introducción a la teoría de los números  ”] [ detalle de la edición ], capítulo 9 ("Escritura de números en decimales"), teorema 141 .

Ver también

Artículos relacionados

enlaces externos