Serie de Fourier generalizada
En análisis , varias extensiones del concepto de la serie de Fourier han resultado útiles. De este modo, permiten escribir descomposiciones de funciones sobre una base Hilbertiana vinculadas a un producto escalar particular. El caso considerado es el de las funciones cuadradas integrables sobre un intervalo de la línea real , que tiene aplicaciones, por ejemplo, en la teoría de la interpolación.
Definición
Sea un conjunto de funciones cuadradas integrables con valores en ,
F=VS o R{\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C} {\ mbox {o}} \ mathbb {R}}![{\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C} {\ mbox {o}} \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4bff262dee38dcd2b8df7476f64be13d8ecaa2)
Φ={φno:[a,B]→F∣no∈NO}{\ Displaystyle \ Phi = \ {\ varphi _ {n}: [a, b] \ to \ mathbb {F} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}![{\ Displaystyle \ Phi = \ {\ varphi _ {n}: [a, b] \ to \ mathbb {F} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b6e2b5c4d90a70059b4f2e576a1a957ceb498e)
,
que son ortogonales de dos en dos para el producto escalar:
⟨F,gramo⟩w=∫aBF(X)gramo¯(X)w(X)DX{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, {\ overline {g}} (x) \, w (x) \, \ mathrm {d} x}![{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, {\ overline {g}} (x) \, w (x) \, \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4982610301e46dabbe720545a619ceb558a459ce)
donde w es una función de peso, y denota el conjugado complejo, es decir si .
⋅¯{\ Displaystyle {\ overline {\ cdot}}}
gramo¯(X)=gramo(X){\ Displaystyle {\ overline {g}} (x) = g (x)}
F=R{\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}![{\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e1200c55f062d38108d482407e8a36b868eb91)
La serie de Fourier generalizada de una función cuadrada integrable f : [ a , b ] → , con respecto a Φ, está dada por
F{\ Displaystyle \ mathbb {F}}![{\ Displaystyle \ mathbb {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573f72afae7df709959ab1a58cd643743466a187)
F(X)∼∑no=0∞vsnoφno(X){\ Displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} \ varphi _ {n} (x)}![{\ Displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} \ varphi _ {n} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd24cce072023c004a19dbfdf2b821a10b95c377)
,
donde los coeficientes de la serie están dados por
vsno=⟨F,φno⟩w‖φno‖w2{\ Displaystyle c_ {n} = {\ langle f, \ varphi _ {n} \ rangle _ {w} \ over \ | \ varphi _ {n} \ | _ {w} ^ {2}}}![{\ Displaystyle c_ {n} = {\ langle f, \ varphi _ {n} \ rangle _ {w} \ over \ | \ varphi _ {n} \ | _ {w} ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c64b2a2216c6b77db9daa1b2baf77ae672b31d)
.
Si Φ es un conjunto completo , definiendo así una base de Hilbert del espacio de Hilbert L 2 ([ a , b ]), la relación se convierte en una igualdad en el sentido L 2 , más precisamente módulo | · | w (no necesariamente en casi todas partes , ni en todos los puntos).
∼{\ Displaystyle \ sim}![\ sim](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcc42adfcfdc24d5c4c474869e5d8eaa78d1173)
Ejemplo
series de Fourier
La serie de Fourier de una función periódica es una serie de Fourier generalizada para funciones , que forman una base de Hilbert para el producto escalar clásico:
{miInoX∣no∈Z}{\ Displaystyle \ {\ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} nx} \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}}![{\ Displaystyle \ {\ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} nx} \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba3789a6002d87b036f98c3c0ffba0dea1c4a52)
⟨F,gramo⟩w=12π∫02πF(X)gramo¯(X)DX{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (x) \, {\ overline {g }} (x) \, \ mathrm {d} x}![{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (x) \, {\ overline {g }} (x) \, \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d48e46cf724916a8d90865bd21929440f41a925)
.
Serie de Fourier-Legendre
Los polinomios de Legendre son soluciones del problema de Sturm-Liouville
((1-X2)PAGno′(X))′+no(no+1)PAGno(X)=0{\ Displaystyle \ left ((1-x ^ {2}) P_ {n} '(x) \ right)' + n (n + 1) P_ {n} (x) = 0}![{\ Displaystyle \ left ((1-x ^ {2}) P_ {n} '(x) \ right)' + n (n + 1) P_ {n} (x) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b741b45c93d4451462832a321b4dd6c0316aeca4)
.
Sabemos que estos polinomios son los autovectores del problema y forman una familia ortogonal para el producto escalar clásico sobre el intervalo unitario. La serie de Fourier generalizada asociada (también llamada serie de Fourier-Legendre) por lo tanto da
F(X)∼∑no=0∞vsnoPAGno(X){\ Displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} P_ {n} (x)}![{\ Displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} P_ {n} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69586cb578edba0054a8bfae2653c818183efd95)
,
vsno=⟨F,PAGno⟩w‖PAGno‖w2{\ Displaystyle c_ {n} = {\ langle f, P_ {n} \ rangle _ {w} \ over \ | P_ {n} \ | _ {w} ^ {2}}}![{\ Displaystyle c_ {n} = {\ langle f, P_ {n} \ rangle _ {w} \ over \ | P_ {n} \ | _ {w} ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481cecd0ff19263f284d265cf9fd69fdbced3085)
Calculemos, por ejemplo, la serie de Fourier-Legendre para la función ƒ ( x ) = cos x en [−1, 1]. Ahora,
vs0=∫-11porqueXDX∫-11(1)2DX=pecado1vs1=∫-11XporqueXDX∫-11X2DX=02/3=0vs2=∫-113X2-12porqueXDX∫-119X4-6X2+14DX=6porque1-4pecado12/5=52(6porque1-4pecado1){\ Displaystyle {\ begin {alineado} c_ {0} & = {\ int _ {- 1} ^ {1} \ cos x \, \ mathrm {d} x \ over \ int _ {- 1} ^ {1 } (1) ^ {2} \, \ mathrm {d} x} = \ sin 1 \\ c_ {1} & = {\ int _ {- 1} ^ {1} x \ cos x \, \ mathrm { d} x \ over \ int _ {- 1} ^ {1} x ^ {2} \, \ mathrm {d} x} = {0 \ over 2/3} = 0 \\ c_ {2} & = { \ int _ {- 1} ^ {1} {3x ^ {2} -1 \ over 2} \ cos x \, \ mathrm {d} x \ over \ int _ {- 1} ^ {1} {9x ^ {4} -6x ^ {2} +1 \ over 4} \, \ mathrm {d} x} = {6 \ cos 1-4 \ sin 1 \ over 2/5} = {5 \ over 2} (6 \ cos 1-4 \ sin 1) \ end {alineado}}}![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} c_ {0} & = {\ int _ {- 1} ^ {1} \ cos x \, \ mathrm {d} x \ over \ int _ {- 1} ^ {1 } (1) ^ {2} \, \ mathrm {d} x} = \ sin 1 \\ c_ {1} & = {\ int _ {- 1} ^ {1} x \ cos x \, \ mathrm { d} x \ over \ int _ {- 1} ^ {1} x ^ {2} \, \ mathrm {d} x} = {0 \ over 2/3} = 0 \\ c_ {2} & = { \ int _ {- 1} ^ {1} {3x ^ {2} -1 \ over 2} \ cos x \, \ mathrm {d} x \ over \ int _ {- 1} ^ {1} {9x ^ {4} -6x ^ {2} +1 \ over 4} \, \ mathrm {d} x} = {6 \ cos 1-4 \ sin 1 \ over 2/5} = {5 \ over 2} (6 \ cos 1-4 \ sin 1) \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67182a3cf08309af37f5995ba3c992e5bbd23e9)
y una suma usando esta expansión en serie:
vs2PAG2(X)+vs1PAG1(X)+vs0PAG0(X)=52(6porque1-4pecado1)(3X2-12)+pecado1{\ Displaystyle c_ {2} P_ {2} (x) + c_ {1} P_ {1} (x) + c_ {0} P_ {0} (x) = {5 \ over 2} (6 \ cos 1 -4 \ sin 1) \ left ({3x ^ {2} -1 \ over 2} \ right) + \ sin 1}
=(452porque1-15pecado1)X2+6pecado1-152porque1{\ Displaystyle = \ left ({45 \ over 2} \ cos {1} -15 \ sin {1} \ right) x ^ {2} +6 \ sin 1- {15 \ over 2} \ cos 1}
que difiere de cos ( x ) en aproximadamente 0.003 para x = 0. Por lo tanto, puede ser ventajoso usar series de Fourier-Legendre ya que los vectores propios son polinomios, más fáciles de manejar para cálculos integrales.
Resultados de convergencia
Los coeficientes c n tienen propiedades similares a las de la serie de Fourier:
Desigualdad de Bessel
∑no=0∞|vsno|2≤∫aB|F(X)|2w(X)DX{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} \ leq \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w ( x) \, \ mathrm {d} x}![{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} \ leq \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w ( x) \, \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50a09868fb8ad80455cf3f186693ee7db4ebd69)
.
Igualdad parseval
Si Φ es un conjunto completo
∑no=0∞|vsno|2=∫aB|F(X)|2w(X)DX{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} = \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w (x ) \, \ mathrm {d} x}![{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2} = \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w (x ) \, \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d6bc0f2bcd2820a631334fc6891c825b815a12)
.
Referencias
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">