Proyección de Mollweide

La proyección de Mollweide es una proyección cartográfica pseudocilíndrica que se utiliza con mayor frecuencia para los planisferios de la Tierra (o el cielo). También conocido con el nombre de proyección de Babinet o proyección elíptica , el calificativo de proyección equivalente de Mollweide indica que favorece la conservación de superficies a la conservación de ángulos ( proyección conforme ): por eso se utiliza principalmente para mapas. esfera reproducida sobre una superficie reducida.

Esta proyección fue publicada por primera vez en 1805 por el matemático y astrónomo prusiano Carl Brandan Mollweide  (de) (1774-1825) de Leipzig , como una alternativa a la proyección de Mercator . Jacques Babinet popularizó su uso en 1857, bajo el nombre de proyección homolográfica .

Definición

Esta proyección está definida por las ecuaciones:

X=22πλporque⁡(θ){\ Displaystyle x = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {\ pi}} \ lambda \ cos \ left (\ theta \ right)}y=2pecado⁡(θ){\ Displaystyle y = {\ sqrt {2}} \ sin \ left (\ theta \ right)}

donde es un ángulo auxiliar definido por θ{\ Displaystyle \ theta \,}

2θ+pecado⁡(2θ)=πpecado⁡(ϕ){\ Displaystyle 2 \ theta + \ sin (2 \ theta) = \ pi \ sin (\ phi) \,} (1)

λ{\ Displaystyle \, \ lambda}es la longitud contada desde el primer meridiano y es la latitud. ϕ{\ Displaystyle \, \ phi}

La ecuación (1) se puede resolver de forma iterativa (con una velocidad de convergencia más baja en latitudes altas) mediante el método de Newton-Raphson  :

δθ′=-(θ′+pecado⁡(θ′)-πpecado⁡(ϕ))/(1+porque⁡(θ′)){\ Displaystyle \ delta \ theta '= - (\ theta' + \ sin (\ theta ') - \ pi \ sin (\ phi)) / (1+ \ cos (\ theta')) \,}

Para la primera iteración podemos tomar como una estimación deϕ{\ Displaystyle \, \ phi}θ′.{\ Displaystyle \, \ theta '.}

Finalmente, obtenemos gracias a la relación: θ{\ Displaystyle \, \ theta}

θ=θ′/2.{\ Displaystyle \ theta = \ theta '/ 2.}

Propiedades

La proyección de Mollweide es una proyección pseudocilíndrica donde el ecuador se representa como una línea horizontal perpendicular al primer meridiano y de doble longitud. La longitud de los otros paralelos disminuye a medida que uno se mueve hacia los polos, mientras que los otros meridianos son equidistantes en el ecuador. Los meridianos de longitud de 90 ° este y oeste describen un círculo perfecto, y el contorno del planisferio es una elipse con diámetros en la proporción 2: 1. El área entre un paralelo y el ecuador en este mapa es proporcional al área entre estas mismas líneas en la superficie del globo , pero a costa de una distorsión en las esquinas, aunque es menos sensible que en la proyección sinusoidal .

Estas distorsiones pueden limitarse recurriendo a una supuesta versión incompleta de esta proyección: la proyección sinusoidal incompleta de Mollweide sustituye al meridiano de origen por dos semiromeridianos que interceptan el ecuador en ángulo recto; esta técnica tiene el efecto de dividir el planisferio en dos medios mapas. La proyección paralela incompleta de Mollweide utiliza meridianos centrales inconexos, dando la impresión de un conjunto de elipses conectados al ecuador. Más raramente, se cambia la proyección del polo para cambiar las distorsiones al nivel del mar y dar a las áreas terrestres menos distorsión.

Posteridad

La proyección de Mollweide, o las propiedades en las que se basa, inspiró a su vez nuevas proyecciones cartográficas, entre las que se encuentran la proyección homosina de Goode , la proyección de van der Grinten y la proyección “eumorfica” de Boggs .

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Proyección de Mollweide  " ( consulte la lista de autores ) .

1. Ver Snyder, p.  112-113 .
2. (en) John P. Snyder, Proyecciones de mapas - Un manual de trabajo , Documento profesional de USGS 1395, 1987, p.  249-252 .

Ver también

Artículo relacionado

• Lista de proyecciones cartográficas

enlaces externos

• Un subprograma JAVA para comprender las deformaciones (superficie, distancia y ángulo) de la proyección de Mollweide
• (en) Eric W. Weisstein , "  Proyección de Mollweide  " , en MathWorld

Bibliografía

• Jean Lefort, La aventura cartográfica , París, Belin , coll.  "  Para la ciencia  ",2004, 320  p. ( ISBN  2-84245-069-8 )
• (en) John P. Snyder, Aplanando la Tierra: Dos mil años de proyecciones cartográficas ,1993, 365  p. ( ISBN  0-226-76747-7 , leer en línea )