Letras griegas en matemáticas financieras

Las letras griegas o griegas o griegas son las herramientas básicas de las opciones de gestión financiera . Derivan de los principales modelos de valoración de opciones , en particular el de Black Scholes .

Estos indicadores calculan el impacto en el precio de la opción de una variación en los parámetros que la forman:

el precio del subyacente (o al contado ) , $S \, \!$
el precio de ejercicio fijado por la opción (o ejercicio) , ${\ mathcal {}} K$
la volatilidad implícita , $\ sigma \, \!$
el vencimiento de la opción , es decir, el tiempo después del cual se puede ejecutar la opción $T \, \!$
la tasa de interés (o tasa de interés ) . $r \, \!$

$d_ {1} = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {T}} \ left [\ ln \ left (\ frac {S} {K} \ right) + \ left (r + \ frac {1} { 2} \ sigma ^ 2 \ right) T \ right]$

$d_ {2} = d_ {1} - \ sigma \ sqrt {T}$

$N '(x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ {2} / 2}$ , la función de densidad de probabilidad de la distribución normal centrada reducida.

$N (x) = \ int \ limits ^ {x} _ {- \ infty} \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- t ^ {2} / 2} dt$ , la función de distribución de la distribución normal centrada reducida.

Definiciones

Retomando las notaciones explicadas en el modelo de Black y Scholes y anotando la prima de la opción, tenemos las siguientes derivadas . $PAG \, \!$

El delta

$\ delta = \ frac {\ parcial P} {\ parcial S}$

$\ delta_ {Call} = N (d_ {1})$

$\ delta_ {Put} = \ delta_ {Call} -1 = N (d_ {1}) - 1$

El delta de una opción mide la sensibilidad de su precio a un cambio dado en el precio del subyacente.

La prima de una opción call es una función creciente de los precios subyacentes, mientras que la de una opción put es una función decreciente . De hecho, cuanto más alto sea el precio del subyacente, mayor será la probabilidad de que la opción call esté en el dinero. Simétricamente, cuanto menor sea el precio del subyacente, mayor será la probabilidad de que la opción put esté en el dinero. Por lo tanto, cuando una opción tiene un delta igual (en valor absoluto) o cercano a 0.5, se dice que está en el dinero. $\ delta_ {llamada} \ ge 0$ $\ delta_ {put} \ le 0$

Además, y . Esto se puede entender tomando el caso extremo de una opción de compra con un precio de ejercicio cero, sobre un subyacente que no puede tener un precio negativo. La prima de esta opción siempre será igual al precio subyacente: . Su derivado con respecto al precio del subyacente será, por tanto, igual a 1. $\ delta_ {llamada} \ le 1$ $\ delta_ {put} \ ge -1$ $P_ {llamar} \, \! = S \, \!$

El razonamiento simétrico ayuda a comprender por qué el delta de una opción put es mayor que -1.

El delta de una cartera de opciones es la suma de los deltas de cada una de las opciones que la componen.

NB: Para la opción de compra, el delta es necesariamente positivo (en el peor de los casos, cero): una opción de compra vale más cuanto más alto sea el precio del subyacente. Además, el delta de la
opción de compra está necesariamente entre 0 y 1. Para la opción de venta, el delta es necesariamente negativo (en el peor de los casos, cero): una opción de venta a un precio fijo es tanto más cara cuanto que el precio de la subjacente es bajo. Al razonar simétricamente al anterior, podemos demostrar que el delta de la opción put está estrictamente entre -1 y 0.

Gama

artículo principal: gamma

$\ gamma_ {Llamar} = \ gamma_ {Poner} = \ frac {\ parcial ^ 2 P} {\ parcial S ^ 2} = \ frac {N '(d_ {1})} {S \ sigma \ sqrt {T} }$

La gamma representa la convexidad o termaxidad del precio de una opción de acuerdo con el precio del subyacente. Indica si el precio de la opción tiende a moverse más rápido o más lento que el precio del subyacente. Por analogía, podemos comparar el delta con la velocidad y el gamma con la aceleración.

Otra lectura de la gamma es la dirección de evolución del delta según el precio del subyacente. Una gamma positiva indica que el precio del subyacente y el delta se mueven en la misma dirección, mientras que una gamma negativa muestra lo contrario.

Desde y , decimos que un comprador call o podría ser long gamma o gamma su cartera será positiva y que un vendedor será short ( short ) gamma, gamma o negativo. En igualdad de condiciones, la gamma es máxima cuando la opción está en el dinero (es decir, cuando su delta es igual a 0,5). Una cartera que comprenda opciones largas (llamadas largas ) y cortas (llamadas cortas ) a diferentes precios de ejercicio (sobre el mismo subyacente) verá, por lo tanto, que el valor de su gamma evoluciona, o incluso cambia de signo, dependiendo de los cambios en el precio del subyacente. $\ gamma_ {llamada} \ ge 0$ $\ gamma_ {put} \ ge 0$

La gamma de una cartera de opciones es la suma de la gamma de cada una de las opciones que la componen.
Gamma es una función decreciente de madurez.

Theta

Theta es el costo (o ganancia) del tiempo dedicado a una cartera de opciones. Evalúa cuánto afecta el paso del tiempo al valor de una opción. Una posición de opción larga (gamma positiva) será theta negativa. El comerciante deberá asegurarse todos los días de pagar su theta diario aprovechando su posición larga en gamma. Por lo tanto, preferiríamos tener una posición larga con una opción que sea lo suficientemente volátil, por lo que al reequilibrar la posición, podemos pagar el tiempo que pasa negociando la gamma.
$\ theta = - \ frac {\ P parcial} {\ T parcial}$

Para una opción europea sobre una acción que no paga dividendos:

$\ theta_ {llamada} = - \ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 \ sqrt {T}} - rKe ^ {- rT} N (d_ {2})$

Para una apuesta europea en una acción que no paga dividendos:

$\ theta_ {put} = - \ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 \ sqrt {T}} + rKe ^ {- rT} N (-d_ {2})$

El rho

Es la tasa de variación del valor de la prima en función de la tasa de interés libre de riesgo.

$\ rho = \ frac {\ parcial P} {\ parcial r}$

$\ rho_ {llamada} = KTe ^ {- rT} N (d_ {2})$

$\ rho_ {put} = -KTe ^ {- rT} N (-d_ {2})$

Vega

${\ Displaystyle \ nu _ {llamada} = \ nu _ {poner} = {\ frac {\ parcial P} {\ parcial \ sigma}} = S {\ sqrt {T}} N '(d_ {1})}$

Vega mide la sensibilidad a la volatilidad implícita (ver modelo Black-Scholes ). Representado por la letra minúscula nu porque el nombre "vega" no es en sí mismo un nombre de letra griega. Como y , decimos que un comprador call o put será largo en veg, o que su cartera será veg positiva, y que un vendedor será corto ( corto ) en veg, o veg negativo. ${\ Displaystyle \ nu _ {call} \ geq 0}$ ${\ Displaystyle \ nu _ {put} \ geq 0}$

A diferencia de gamma y theta, veg es una función creciente de madurez. Así, un aumento paralelo de la volatilidad tendrá más impacto en las opciones con fecha de vencimiento lejana que en las cercanas. Una posición generalmente apreciada por los comerciantes y los creadores de mercado es tener una posición gamma globalmente positiva (sensible a los principales movimientos del mercado) y una vega negativa, que consiste en comprar opciones cortas y vender opciones largas.

usar

Indicadores de riesgo

Los griegos son sobre todo indicadores de los riesgos asumidos por quien compró o vendió opciones. Desglosan estos riesgos por origen: precio del subyacente, volatilidad implícita, tiempo y tipo de interés.

Por lo tanto, permitirán gestionar cada uno de estos parámetros con precisión, ya sea a nivel de negociación , o a nivel de servicios de control de riesgos en las estructuras donde existen.

Los griegos son extremadamente importantes porque permiten cubrir los riesgos asociados con una cartera de opciones. En general, los operadores no cubren los riesgos asociados con cada opción, sino los riesgos generales de una cartera de opciones de la que son responsables. El software de gestión de riesgos les da los valores de estos griegos para que sepan directamente qué productos comprar o vender para cubrir los riesgos que deciden neutralizar. Una cartera “totalmente” cubierta es una cartera para la que todos los griegos valen cero: sin sensibilidad a ningún parámetro. En la práctica, es imposible reducir los riesgos a cero. De hecho, los griegos también son sensibles a los mismos parámetros y los valores evolucionan constantemente con la evolución de los mercados.

Herramientas de gestión para el comerciante

La estrategia de gestión de opciones más común se denomina gestión neutral delta. Consiste en eliminar en todo momento el riesgo vinculado al precio del subyacente.

Tomemos el ejemplo de un comerciante que vende instantáneamente llamadas delta idénticas . El delta de su cartera es entonces . Queriendo hacer que su cartera sea inmune a las variaciones en el precio del subyacente, cancelará este delta. La solución más simple es, en general, a continuación, para comprar (ya que en el caso de una llamada , ) una cantidad del subyacente. De hecho, por definición, el delta del subyacente es igual a 1. $t_ {0}$ $no$ $\ delta _ {0}$ $n \, \ veces \, \ delta_0$ $\ delta_ {llamada} \ ge 0$ $n \, \ veces \, \ delta_0$

Sin embargo, durante la vigencia de esta opción, su delta cambiará, en particular porque el precio del subyacente habrá cambiado. Por el momento , el delta será diferente y, por lo tanto, la cobertura de la cartera ya no será óptima: el operador tendrá que ajustar esto comprando o vendiendo un poco más subyacente. $t_1$ $\ delta _ {1}$ $\ delta _ {0}$

Tener en cuenta la gamma permite optimizar esta gestión. Cuando la gamma es positiva, la delta aumenta a medida que aumenta el precio del subyacente. Situación cómoda para el operador que debe vender el subyacente durante las subidas del mercado y recomprar durante las caídas. Estos viajes de ida y vuelta al subyacente se utilizan para recuperar el costo del paso del tiempo (a menudo decimos: paga theta). Por otro lado, si la gamma es negativa, debe realizar las operaciones inversas, y los viajes de ida y vuelta deben perder menos de lo que gana el theta.

Además, cuanto mayor es la gamma, más frecuentes son las intervenciones para neutralizar el delta, lo que puede ser un problema en un entorno donde los costos de transacción son altos. Por el contrario, si la gama de la opción es cero, el operador puede mantener una posición fija durante la vida de la opción.

La gestión Delta-neutral puede ser una forma de apostar por la volatilidad: dado que la cartera es teóricamente inmune a las variaciones en el precio del subyacente, su valor evolucionará principalmente de acuerdo con la volatilidad implícita.

Ver también