Lema de Zolotarev

En matemáticas , el lema de Zolotarev es el resultado de una aritmética modular equivalente al lema de Gauss e introducido por Yegor Ivanovich Zolotarev en 1872 para volver a probar la ley de reciprocidad cuadrática . Afirma que para cualquier número primo p > 2 y cualquier número entero a no divisible por p , el símbolo de Legendre ( a / p ) es igual a la firma de la permutación de las clases residuales módulo p que multiplica cada elemento por a .

Prueba

Sea α la clase módulo p del entero a . La permutación de la declaración fija la clase nula, y se identifica en las clases distintas de cero con la acción τ α de α por traducción, en el grupo multiplicativo Z / pZ *. Esta permutación se descompone en ( p - 1) / i ciclos disjuntos, cada uno de tamaño i , donde i es el orden de α (es decir, el entero más pequeño i > 0 tal que α i = 1). Por tanto, su firma vale:

\ varepsilon (\ tau _ {\ alpha}) = (- 1) ^ {{(i-1) {\ frac {p-1} i}}}.

Para comparar esta firma con el símbolo de Legendre ( a / p ), que según el criterio de Euler es igual a α ( p - 1) / 2 , luego discutimos según la paridad de i :

si yo es par entonces ;

\ alpha ^ {{(p-1) / 2}} = (\ alpha ^ {{i / 2}}) ^ {{(p-1) / i}} = (- 1) ^ {{(p- 1) / i}} = \ varepsilon (\ tau _ {\ alpha})

si yo es extraño entonces .

\ alpha ^ {{(p-1) / 2}} = (\ alpha ^ {i}) ^ {{(p-1) / 2i}} = 1 = \ varepsilon (\ tau _ {\ alpha})

En ambos casos, este es el resultado esperado.

Generalización

El teorema de Frobenius- Zolotarev indica que si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo finito F p , entonces la firma de cualquier automorfismo de V (visto como una permutación de este espacio vectorial finito ) es igual al símbolo de Legendre de su determinante :

\ forall u \ in {\ mathrm {GL}} (V), \ qquad \ varepsilon (u) = \ left ({\ frac {\ det (u)} p} \ right).

Lemma corresponde de Zolotarev al caso V = F p y u = la multiplicación por una .

Demostración

El morfismo de los grupos

{\ mathrm {GL}} (V) \ to {\ mathbf F} _ {p} ^ {*}, \ qquad u \ mapsto \ det (u)

es sobreyectiva y su núcleo, el grupo especial lineal SL ( V ), es el subgrupo derivado de GL ( V ) . Por propiedad universal del abelianizado , hay por tanto un morfismo

f: {\ mathbf F} _ {p} ^ {*} \ to \ {\ pm 1 \}

por el cual se factoriza el morfismo característico:

\ forall u \ in {\ mathrm {GL}} (V), \ quad \ varepsilon (u) = f (\ det (u)).

Finalmente, este morfismo $f$ coincide con el símbolo de Legendre, ya que no es el morfismo trivial . En efecto, podemos exhibir un automorfismo de V cuya firma es igual a –1: si V es de dimensión n por lo tanto isomorfo, como espacio vectorial, al campo finito F q para q = p n , basta con elegir el automorfismo de multiplicación por un generador del grupo cíclico F q *. De hecho, es una permutación impar , ya que es una permutación circular de longitud par ( q –1).

Notas y referencias

E. Zolotarev, Nueva demostración de la ley de reciprocidad de Legendre , Nueva Annals of Mathematics 2 nd serie, volumen 11, 1872, p. 354-362
(in) " El lema de Zolotarev " en PlanetMath (incluye prueba de la ley de reciprocidad debida a Zolotarev)
Daniel Ferrand, Firma y determinación , preparación para la agregación de matemáticas , Universidad de Rennes 1 , febrero de 2004
Pierre Cartier , "Sobre una generalización de los símbolos de Legendre-Jacobi", en La enseñanza de las matemáticas , vol. 16, 1970, pág. 31-48