Lema de Yoneda

En la teoría de categorías , el lema de Yoneda , atribuida al matemático japonés Nobuo Yoneda , es un teorema de la incrustación de una clase a nivel local en una pequeña categoría funtor : los objetos se identifican a ser representados funtores , y morfismos de que todas las transformaciones naturales entre estos funtores . Ésta es una amplia generalización del teorema de Cayley para grupos (visto como categorías pequeñas de un solo objeto). Una de las consecuencias del lema de Yoneda es el teorema del modelo acíclico (en) , que tiene muchos usos en homología y geometría algebraica . $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$

Lema de Yoneda

Sea una categoría localmente pequeña, es decir, en la que, para todos los objetos A y X , los morfismos de A a X forman un conjunto y no solo una clase . $\ mathcal C$

Un objeto A de define un functor covariante Hom h A de en la categoría Conjunto de conjuntos por: $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $X \ mapsto h ^ {A} (X) = {\ mathrm {Hom}} _ {C} (A, X),$ $f \ mapsto h ^ {A} (f) = (g \ mapsto f \ circ g).$ De esta forma, tenemos un functor contravariante h - de en la categoría Fun ( , Ens ) de los functores covariantes de en Ens . Cualquier morfismo de A a B en la categoría induce una transformación natural de h B en h A . El lema de Yoneda establece que cualquier transformación natural de h B a h A es de esta forma; mejor, caracteriza el conjunto de transformaciones naturales de h A en cualquier functor de en Ens . El lema de Yoneda muestra que el functor contravariante h - es completamente fiel ; la categoría de operación dual está así inmersa en Diversión ( , Ens ). $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$
$\ mathcal C$ $\ mathcal C$
Reemplazando por op , deducimos una versión similar, con respecto al functor covariante h - : A ↦ h A = Hom (-, A ), de en la categoría de verificación previa Fun ( op , Ens ), es decir, la categoría de contravariante functors de en Set . Este funtor h - , llamado incrustación de Yoneda , se sumerge canónicamente en la categoría Fun ( op , Set ), que tiene la ventaja de ser cocompleto (en) , es decir, de poseer todas las pequeñas colimitas . Esta es la "co-terminación universal " de . $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$

A continuación, solo se discutirá la primera versión.

Estados

Lema de Yoneda - Para cualquier objeto A de , cualquier transformación natural de h A en un funtor T : → El conjunto solo está determinado por el elemento de T ( A ) definido como la imagen del par . Más precisamente, tenemos una biyección: $\ mathcal C$ $\ psi$ $\ mathcal C$ ${\ mathrm {id}} _ {A} \ en h ^ {A} (A)$ $\ psi (A)$

{\ mathrm {Nat}} (h ^ {A}, T) {\ overset \ sim \ to} T (A),

\ psi \ mapsto \ psi (A) ({\ mathrm {id}} _ {A}).

En particular, para todos los objetos A y B de , tenemos: $\ mathcal C$

{\ Displaystyle \ mathrm {Nat} (h ^ {A}, h ^ {B}) \ simeq h ^ {B} (A) = \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (B, A) .}

Prueba

Inyectividad

Con las notaciones anteriores, considere una transformación natural h A en T . Para cualquier elemento de , tenemos: $\ psi$ $F$ ${\ Displaystyle h ^ {A} (B) = \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B)}$

f = h ^ {A} (f) ({\ mathrm {id}} _ {A}) \,

Aplicando la aplicación configurada a esta identidad , obtenemos: $\ psi (B): h ^ {A} (B) \ flecha derecha T (B)$

\ psi (B) (f) = \ psi (B) \ left [h ^ {A} (f) ({\ mathrm {id}} _ {A}) \ right] = T (f) \ left [\ psi (A) ({\ mathrm {id}} _ {A}) \ right]

donde la segunda igualdad proviene de la definición de una transformación natural. Por tanto, el elemento es la imagen del par . De hecho, al variar f , mostramos que solo está determinado por . La aplicación indicada es inyectiva. $\ psi (B) (f)$ $\ psi (A) ({\ mathrm {id}} _ {A})$ $T (f)$ $\ psi$ $\ psi (A) ({\ mathrm {id}} _ {A})$

Sobrejetividad

Sea v un elemento de T ( A ). La prueba de inyectividad permite adivinar un antecedente de v (necesariamente único). Para cualquier objeto B de C , defina:

\ psi _ {v} (B): h ^ {A} (B) \ flecha derecha T (B) \,

f \ se asigna a T (f) (v)

Comprobemos que de hecho es una transformación natural. Para cualquier flecha g : B → C y para cualquier elemento f de h A ( B ), podemos escribir: $\ psi _ {vb}$

T (g) \ left [\ psi _ {v} (B) (f) \ right] = T (g) \ left [T (f) (v) \ right] = T \ left [gf \ right] ( v) = \ psi _ {v} (C) (gf)

Ahora, el compuesto gf puede considerarse como la imagen de f por h A ( g ). Entonces, la identidad obtenida se reescribe:

T (g) \ left [\ psi _ {v} (B) (f) \ right] = \ psi _ {v} (C) \ left [h ^ {A} (g) (f) \ right]

Variando f :

T (g) \ circ \ psi _ {v} (B) = \ psi _ {v} (C) \ circ h ^ {A} (g)

Estando verificado para cualquier flecha g , es de hecho una transformación natural de h A en T y su imagen es casi por definición v (la hemos definido para). $\ psi _ {vb}$

Notas y referencias

(in) Roy L. Crole , Categorías de tipos , UPC ,1993, 335 p. ( ISBN 978-0-521-45701-9 , leer en línea ) , pág. 63-64.
Crole 1993 , p. 66.

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