Invariante
En matemáticas , la palabra invariante tiene diferentes significados (no equivalentes) según el contexto. Se utiliza en geometría y topología, así como en análisis y álgebra .
Invariante de una transformación
Si g : E → E es un mapa , un invariante de g es un punto fijo , es decir, un elemento x de E que es su propia imagen por g :
Para tal mapa g , se dice una parte P de E :
- invariante punto por punto si todos sus elementos son puntos fijos;
- globalmente invariante por g , o estable por g , si , es decir: (esta propiedad es menos fuerte que la anterior).
Estas nociones se utilizan a menudo en sistemas dinámicos , para transformaciones geométricas y para acciones grupales . De hecho, las invariantes de una aplicación pueden proporcionar información sobre ella.
- En la geometría euclidiana , el único punto invariante de una similitud directa (que no es una traslación) del plano euclidiano será su centro.
- En la reducción de endomorfismos , se dice que un subespacio vectorial F de E es invariante por un mapa lineal g cuando es globalmente invariante por g .
- Para una acción (a la izquierda) de un grupo G en un conjunto X , se dice que un punto x es invariante cuando para cualquier elemento g de G tenemos: g . x = x .
Propiedad invariante
Se dice que una propiedad es invariante cuando un proceso no la modifica. Una propiedad se relaciona con un objeto o conjunto de objetos dado. Se pueden realizar diferentes construcciones para construir objetos de similar naturaleza: parte, complementario, suma, productos, cociente, reinserción, extensión ...
La invariancia de una propiedad caracteriza su estabilidad bajo estas construcciones.
Dentro del significado de la teoría de categorías
Para una categoría dada, un invariante es una cantidad o un objeto asociado con cada objeto de la categoría, y que depende solo de la clase de isomorfismo del objeto, posiblemente hasta el isomorfismo.
El lenguaje de las invariantes es particularmente adecuado para la topología algebraica .
En teoría de grafos
Decimos que un número asociado a una gráfica es invariante (de gráfica), si no está modificado por un isomorfismo de gráficas . Por ejemplo, el número cromático es un gráfico invariante.
Bibliografía
- (en) Eric W. Weisstein , " Invariant " , en MathWorld
- (en) “Invariant” , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea )