Índice de frenado

En astronomía , el índice de frenado es la cantidad que parametriza la forma en que la velocidad angular de rotación de un púlsar disminuye con el tiempo. Es observable y medible para púlsares jóvenes y permite estimar mejor su edad (ver Edad característica ).

Definición

Al nacer, un púlsar es impulsado por una alta velocidad de rotación: su período de rotación puede alcanzar unas pocas decenas de milisegundos (aproximadamente 33 ms para el púlsar Cangrejo y 89 para el púlsar Vela ). Un púlsar tiene un eje magnético que no está alineado con su eje de rotación . Al girar sobre sí mismo, actúa como un dipolo magnético giratorio. Las leyes del electromagnetismo predicen que un dipolo giratorio perderá energía en forma de radiación electromagnética y, en consecuencia, perderá energía, lo que resultará en una disminución de su velocidad de rotación. No hay nada que decir con certeza que el púlsar tiene una estructura exactamente dipolar: es posible que el campo magnético del púlsar tenga una estructura más compleja. A esto se suma el hecho de que el púlsar puede tener varias interacciones con su entorno, lo que puede conducir a otros procesos de pérdida de energía además de la radiación dipolar. Además, el intenso campo magnético del púlsar es responsable de crear pares de electrones y positrones que también pueden intercambiar energía con el púlsar. Dado que la mayoría de estos procesos no son directamente accesibles a la observación, modelamos las pérdidas de energía del púlsar asumiendo que la derivada del tiempo de su velocidad angular es proporcional a una cierta potencia de , es decir ω{\ Displaystyle \ omega}ω{\ Displaystyle \ omega}

DωDt≡ω˙=-kωno{\ Displaystyle {\ frac {{\ mathrm {d}} \ omega} {{\ mathrm {d}} t}} \ equiv {\ dot {\ omega}} = - k \ omega ^ {n}}.

La constante k es a priori indeterminada (y no tiene interés para lo que sigue), y el exponente n es el índice de frenado .

Formulación en términos de cantidades observables

Observacionalmente, tenemos acceso al valor del período, o la frecuencia del púlsar a lo largo del tiempo. Aunque son extremadamente estables, aún es posible detectar la variación temporal del período o de la velocidad angular y, en ciertos casos, su segunda derivada. En este caso, el índice de frenado se puede expresar en función del período o de la velocidad angular y de sus dos primeras derivadas. Así obtenemos

no=ωω¨ω˙2{\ Displaystyle n = {\ frac {\ omega {\ ddot {\ omega}}} {{\ dot {\ omega}} ^ {2}}}},

y

no=2-PAGPAG¨PAG˙2{\ Displaystyle n = 2 - {\ frac {P {\ ddot {P}}} {{\ dot {P}} ^ {2}}}}. Demostración

Derivando la ecuación que define el índice de frenado, obtenemos

ω¨=-knoω˙ωno-1{\ Displaystyle {\ ddot {\ omega}} = - kn {\ dot {\ omega}} \ omega ^ {n-1}},

y haciendo la conexión con el anterior, viene

no=ωω¨ω˙2{\ Displaystyle n = {\ frac {\ omega {\ ddot {\ omega}}} {{\ dot {\ omega}} ^ {2}}}}.

Esta ecuación se puede reescribir en términos del período de rotación . Entonces tenemos PAG=2π/ω{\ Displaystyle P = 2 \ pi / \ omega}

PAG˙=-2πω˙ω2{\ Displaystyle {\ dot {P}} = - 2 \ pi {\ frac {\ dot {\ omega}} {\ omega ^ {2}}}},

es decir

ω˙=-2πPAG˙PAG2{\ Displaystyle {\ dot {\ omega}} = - 2 \ pi {\ frac {\ dot {P}} {P ^ {2}}}},

que da después de la derivación

ω¨=-2π(PAG¨PAG2-2PAG˙2PAG3){\ Displaystyle {\ ddot {\ omega}} = - 2 \ pi \ left ({\ frac {\ ddot {P}} {P ^ {2}}} - 2 {\ frac {{\ dot {P}} ^ {2}} {P ^ {3}}} \ right)}.

La fórmula que da el índice de frenado se convierte en

no=2-PAGPAG¨PAG˙2{\ Displaystyle n = 2 - {\ frac {P {\ ddot {P}}} {{\ dot {P}} ^ {2}}}}.  

Observacionalmente, observamos el período o frecuencia de rotación, así como su derivada en el tiempo. Si estas cantidades cambian lo suficientemente rápido, podemos tener acceso a su segunda derivada y así medir el índice de frenado.

Valores típicos del índice de frenado

Para una radiación puramente dipolar, el índice de frenado es exactamente igual a 3: la energía del púlsar proviene esencialmente de su energía cinética de rotación, dada por la fórmula

mi=12Iω2{\ Displaystyle E = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}},

y la potencia irradiada por un dipolo magnético giratorio (ver Radiación de dipolo magnético ) es proporcional a la cuarta potencia de la frecuencia:

DmiDt∝-Kω4{\ Displaystyle {\ frac {{\ mathrm {d}} E} {{\ mathrm {d}} t}} \ propto -K \ omega ^ {4}},

que da de inmediato . noDIpag=3{\ Displaystyle n _ {\ rm {dip}} = 3}

Se encuentra que el índice de frenado es menor para los pocos púlsares cuyo índice de frenado se conoce. Por ejemplo, está cerca de 2,5 para el púlsar del Cangrejo.

Verificación de valor

Cualesquiera que sean los valores del período y de sus dos primeras derivadas, siempre es posible calcular la cantidad n . Sin embargo, esto no prueba que el período aumente como ley de potencia con el tiempo. Para verificar esta afirmación, es necesario conocer la tercera derivada del período o frecuencia. En este caso, se puede comprobar la coherencia interna del supuesto de variación del período en la ley de potencia. Esto requiere que dos cantidades sean iguales al índice de frenado, a saber

no=ωω¨ω˙2=12(ω(3)ωω¨ω˙+1){\ Displaystyle n = {\ frac {\ omega {\ ddot {\ omega}}} {{\ dot {\ omega}} ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({ \ frac {\ omega ^ {(3)} \ omega} {{\ ddot {\ omega}} {\ dot {\ omega}}}} + 1 \ right)},

que podemos reescribir en forma de predicción para la tercera derivada , a saber ω(3){\ Displaystyle \ omega ^ {(3)}}

ω(3)=no(2no-1)ω˙3ω2{\ Displaystyle \ omega ^ {(3)} = n (2n-1) {\ frac {{\ dot {\ omega}} ^ {3}} {\ omega ^ {2}}}}. Demostración

Diferenciando la expresión inicial dos veces

ω˙=-kωno{\ Displaystyle {\ dot {\ omega}} = - k \ omega ^ {n}},

obtenemos

ω(3)=-kno(ω¨ωno-1+ω˙2(no-1)ωno-2){\ Displaystyle \ omega ^ {(3)} = - kn \ left ({\ ddot {\ omega}} \ omega ^ {n-1} + {\ dot {\ omega}} ^ {2} (n-1 ) \ omega ^ {n-2} \ right)}.

Al dividir el todo por la expresión que da la segunda derivada, se obtiene

ω(3)ω¨=ω¨ω˙+(no-1)ω˙ω{\ Displaystyle {\ frac {\ omega ^ {(3)}} {\ ddot {\ omega}}} = {\ frac {\ ddot {\ omega}} {\ dot {\ omega}}} + (n- 1) {\ frac {\ dot {\ omega}} {\ omega}}}.

Reemplazando la última pieza del lado derecho con el valor del índice de frenado, tenemos

ω(3)ω¨=(2no-1)ω˙ω{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {(3)}} {\ ddot {\ omega}}} = (2n-1) {\ frac {\ dot {\ omega}} {\ omega}}},

es

ω(3)ω¨=(2no-1)ω˙ω{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {(3)}} {\ ddot {\ omega}}} = (2n-1) {\ frac {\ dot {\ omega}} {\ omega}}},

que podemos reescribir

ω(3)ωω¨ω˙+1=2no{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {(3)} \ omega} {{\ ddot {\ omega}} {\ dot {\ omega}}}} + 1 = 2n}. El resultado indicado se puede deducir inmediatamente.  

Ver también

• Pulsar
• Radiación dipolo magnético
• Edad característica

Referencias

Bibliografía

• (en) Andrew G. Lyne y Francis Graham Smith , Pulsar astronomy , Cambridge University Press ,1990, 1 st  ed. , 274  p. ( ISBN  0-521-32681-8 ), página 53.

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