Desigualdad

Una desigualdad es una cuestión, en forma de desigualdad entre dos cantidades algebraicas. Esta desigualdad contiene incógnitas. Resolver una desigualdad significa encontrar los valores de estas incógnitas que hacen que la desigualdad sea verdadera.

Obviamente, el símbolo <o ≤ debe tener un significado. Por tanto, es necesario, en matemáticas elementales, que las incógnitas pertenezcan al conjunto de los números reales oa una de sus partes. En particular, es imposible trabajar en el conjunto de números complejos .

Ejemplos:

• 3vs+2>10 {\ displaystyle 3c + 2> 10 ~}
• t2+3t⩽t-1{\ Displaystyle t ^ {2} + 3t \ leqslant t-1}
• 3X+2y⩾5{\ Displaystyle 3x + 2y \ geqslant 5}
• X2+3X-5<2X-3{\ Displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + 3x-5}} <2x-3}

Reglas de funcionamiento

La resolución de las desigualdades requerirá el conocimiento de unas reglas de funcionamiento similares a las ya mencionadas para la resolución de las ecuaciones pero con diferencias sutiles y fundamentales:

1. Transitividad de la desigualdad Si y luego (propiedades válidas para dos desigualdades de la misma naturaleza: dos desigualdades "   ", o dos desigualdades "   " o dos desigualdades "   " o dos desigualdades "   "a<B{\ Displaystyle a <b}B<vs{\ Displaystyle b <c}a<vs{\ Displaystyle a <c}<{\ Displaystyle <}>{\ Displaystyle>}⩽{\ Displaystyle \ leqslant}⩾{\ Displaystyle \ geqslant} 2. Podemos sumar el mismo número a los dos miembros de una desigualdad sin cambiar su naturaleza. Si entoncesa<B{\ Displaystyle a <b}a+vs<B+vs{\ Displaystyle a + c <b + c} 3. Podemos restar el mismo número de ambos miembros de una desigualdad sin cambiar su naturaleza. Si entoncesa<B{\ Displaystyle a <b}a-vs<B-vs{\ Displaystyle ac <bc} 4. Podemos multiplicar por el mismo número estrictamente positivo (por lo tanto diferente de 0) los dos miembros de una desigualdad sin cambiar su naturaleza. Si y si entoncesa<B{\ Displaystyle a <b}vs>0{\ Displaystyle c> 0}avs<Bvs{\ Displaystyle ac <bc} Si multiplicamos por un número estrictamente negativo (por lo tanto diferente de 0) , la desigualdad cambia de dirección Si y si entoncesa<B{\ Displaystyle a <b}vs<0{\ Displaystyle c <0}avs>Bvs{\ Displaystyle ac> bc} 5. Podemos dividir por el mismo número estrictamente positivo (por lo tanto diferente de 0) los dos miembros de una desigualdad sin cambiar su naturaleza. Si y si entoncesa<B{\ Displaystyle a <b}vs>0{\ Displaystyle c> 0}avs<Bvs{\ Displaystyle {\ frac {a} {c}} <{\ frac {b} {c}}} Si dividimos por un número estrictamente negativo (por lo tanto diferente de 0) , la desigualdad cambia de dirección Si y si entoncesa<B{\ Displaystyle a <b}vs<0{\ Displaystyle c <0}avs>Bvs{\ Displaystyle {\ frac {a} {c}}> {\ frac {b} {c}}}

A estas pocas reglas, agregaremos las siguientes cuatro reglas:

• La desigualdad es compatible con la suma , es decir que podemos sumar miembro a miembro dos desigualdades de la misma naturaleza

Si y luegoa<B{\ Displaystyle a <b}a′<B′{\ Displaystyle a '<b'}a+a′<B+B′{\ Displaystyle a + a '<b + b'} Pero no se pueden restar miembro por miembro dos desigualdades de la misma dirección (porque una resta es una suma del opuesto y la toma del opuesto cambia la dirección de la desigualdad).

• La desigualdad es compatible con la multiplicación solo para números positivos , es decir que podemos multiplicar miembro por miembro dos desigualdades formadas por números positivos entre dos desigualdades de la misma dirección

Si y luego0<a<B{\ Displaystyle 0 <a <b}0<a′<B′{\ Displaystyle 0 <a '<b'}aa′<BB′{\ Displaystyle aa '<bb'}

• La toma del opuesto o la del revés (para números del mismo signo) es una función decreciente, es decir, cambia la dirección de la desigualdad.

Si entoncesa<B{\ Displaystyle a <b}-a>-B{\ Displaystyle -a> -b} Si entonces0<a<B{\ Displaystyle 0 <a <b}1a>1B{\ Displaystyle {\ frac {1} {a}}> {\ frac {1} {b}}} Si entoncesa<B<0{\ Displaystyle a <b <0}1a>1B{\ Displaystyle {\ frac {1} {a}}> {\ frac {1} {b}}}

• La imagen por una función monótona:

Si yf función creciente entoncesa<B{\ Displaystyle a <b}F(a)<F(B){\ Displaystyle f (a) <f (b)} Si yf función decreciente entoncesa<B{\ Displaystyle a <b}F(a)>F(B){\ Displaystyle f (a)> f (b)}

• La regla de los signos  : el producto de dos cantidades del mismo signo es positivo, el producto de dos cantidades de signos opuestos es negativo.

Resolver desigualdades específicas

• Desigualdad de primer grado
• Desigualdad cuadrática
• La desigualdad resuelta por una serie de signos

Ver también

• Relación de pedido
• Álgebra clásica

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