Identidad de los ocho cuadrados de Degen

En matemáticas , y más específicamente en álgebra , la identidad de los ocho cuadrados de Degen muestra que el producto de dos números, cada uno de los cuales es una suma de ocho cuadrados, es en sí mismo una suma de ocho cuadrados.

Identidad Degen

Si a i y b j son números enteros, reales o complejos, o más generalmente elementos de un anillo conmutativo , tenemos:

{\ Displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3} + a_ {5} b_ {6} -a_ {6} b_ {5} -a_ {7} b_ {8} + a_ {8} b_ {7}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} + a_ {5} b_ {7} + a_ {6} b_ {8} -a_ {7} b_ {5} -a_ {8} b_ {6}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1} + a_ {5} b_ {8} -a_ {6} b_ {7} + a_ {7} b_ {6} -a_ {8} b_ {5}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {5} -a_ {2} b_ {6} -a_ {3} b_ {7} -a_ {4} b_ {8} + a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {6} + a_ {2} b_ {5} -a_ {3} b_ {8} + a_ {4} b_ {7} -a_ {5} b_ {2} + a_ {6} b_ {1} -a_ {7} b_ {4} + a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {7} + a_ {2} b_ {8} + a_ {3} b_ {5} -a_ {4} b_ {6} -a_ {5} b_ {3} + a_ {6} b_ {4} + a_ {7} b_ {1} -a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {8} -a_ {2} b_ {7} + a_ {3} b_ {6} + a_ {4} b_ {5} -a_ {5} b_ {4} -a_ {6} b_ {3} + a_ {7} b_ {2} + a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}

Esta identidad, descubierta por Carl Ferdinand Degen (da) alrededor de 1818, fue redescubierta de forma independiente por John Thomas Graves (en) (1843) y Arthur Cayley (1845). Estos últimos lo obtuvieron mientras estudiaban una extensión de los cuaterniones , los octoniones ; este medio de identificación, de hecho, que la norma de octoniones es multiplicativo, es decir, la norma de producto dos octoniones es el producto de sus normas: . Las identidades análogas están relacionadas con la norma del cuaternión (la identidad de los cuatro cuadrados de Euler ) y con el módulo de números complejos (la identidad de Brahmagupta ${\ Displaystyle \ | uv \ | = \ | u \ | \ | v \ |}$ ). Sin embargo, en 1898, Adolf Hurwitz demostró que las sedeniones no podían usarse para generalizar más estas fórmulas y, de hecho, no había identidad bilineal para ningún número de cuadrados que no fuera 1, 2, 4 y 8 ..

Tenga en cuenta que cada cuadrante se reduce a una variante de la identidad de los cuatro cuadrados de Euler :

{\ Displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) = \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2} \,}

{\ Displaystyle (a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) = \,}

{\ Displaystyle (a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {5} b_ {2} -a_ {6} b_ {1} + a_ {7} b_ {4} -a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {5} b_ {3} -a_ {6} b_ {4} -a_ {7} b_ {1} + a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ Displaystyle (a_ {5} b_ {4} + a_ {6} b_ {3} -a_ {7} b_ {2} -a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}

y lo mismo para los otros dos cuadrantes.

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " La identidad de ocho cuadrados de Degen " ( ver la lista de autores ) .
(en) Eric W. Weisstein , " La identidad de ocho cuadrados de Degen " , en MathWorld

Pascal Boyer, pequeño compañero de los números y sus aplicaciones , y Calvage Mounet,2019, 648 p. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , I. Aritmética de ℤ, cap. 4.3. (“Teorema de Hurwitz (1, 2, 4, 8)”), pág. 67-70.

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Artículos relacionados

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