Armónico esférico
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En matemáticas , los armónicos esféricos son funciones armónicas particulares, es decir, funciones cuyo Laplaciano es cero. Los armónicos esféricos son particularmente útiles para resolver problemas invariantes por rotación, porque son los vectores propios de ciertos operadores relacionados con las rotaciones.
Los polinomios armónicos P ( x , y , z ) de grado l forman un espacio vectorial de dimensión 2 l + 1 , y se pueden expresar en coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) como combinaciones lineales de funciones ( 2 l + 1 ) :
rlYl,metro(θ,φ){\ Displaystyle r ^ {l} \, Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}, con .
-l≤metro≤+l{\ Displaystyle -l \ leq m \ leq + l}Las coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) son, respectivamente, la distancia al centro de la esfera, la colatitude y la longitud .
Cualquier polinomio homogéneo está completamente determinado por su restricción a la esfera unitaria S 2 .
Definición - Las funciones en la esfera obtenidas por restricción de polinomios armónicos homogéneos son armónicos esféricos.
Por eso no aparece aquí la parte radial de la ecuación de Laplace, diferente según el problema estudiado.
Los armónicos esféricos se utilizan en física matemática, en cuanto entra en juego la noción de orientación ( anisotropía ) y por tanto de rotación ( grupo de simetría ortogonal SO (3) ) y entra en juego el laplaciano:
Resolver la ecuación de Laplace
Buscamos las funciones Y l , m ( θ , φ ) en forma de producto de dos funciones de una sola variable:
Yl,metro(θ,φ)=kPAGl,metro(porqueθ)mi+Imetroφ{\ Displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = kP_ {l, m} (\ cos \ theta) \ mathrm {e} ^ {+ \, i \, m \, \ varphi}}
donde k es una constante, que será fijada posteriormente por la normalización. La ecuación de valor propio se convierte en una ecuación diferencial lineal de orden dos para la función P l , m (cos θ ) :
-1pecadoθD Dθ(pecadoθDPAGl,metro(porqueθ)Dθ)+metro2pecado2θPAGl,metro(porqueθ)=mil,metroPAGl,metro(porqueθ){\ Displaystyle - {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l, m} (\ cos \ theta)} {\ mathrm {d} \ theta}} \ right) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta }} P_ {l, m} (\ cos \ theta) = E_ {l, m} P_ {l, m} (\ cos \ theta)}
Realizamos el cambio de variable: que conduce a la ecuación diferencial generalizada de Legendre:
θ↦X=porqueθ{\ Displaystyle \ theta \ mapsto x = \ cos \ theta}
-D DX[(1-X2)DPAGl,metro(X)DX]+metro2(1-X2)PAGl,metro(X)=mil,metroPAGl,metro(X){\ Displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l, m } (x)} {\ mathrm {d} x}} \ right] + {\ frac {m ^ {2}} {(1-x ^ {2})}} P_ {l, m} (x) = E_ {l, m} P_ {l, m} (x)}
Los valores propios de esta ecuación son independientes de m :
mil,metro=l(l+1) {\ Displaystyle E_ {l, m} = l (l + 1) ~}
Las funciones propias P l , m ( x ) son los polinomios de Legendre asociados . Se construyen a partir de los polinomios de Legendre P l ( x ) que son las funciones propias de la ecuación diferencial ordinaria de Legendre, correspondiente al caso m = 0 :
-D DX[(1-X2)DPAGl(X)DX]=l(l+1)PAGl(X){\ Displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l} ( x)} {\ mathrm {d} x}} \ right] = l (l + 1) P_ {l} (x)}
Tenemos la fórmula generadora de Olinde Rodrigues :
PAGl(X)=12ll!Dl DXl[X2-1]l{\ Displaystyle P_ {l} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {l} l!}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {l} ~} {\ mathrm {d} x ^ {l}}} \ left [x ^ {2} -1 \ right] ^ {l}}
Luego construimos las funciones propias P l , m ( x ) mediante la fórmula:
PAGl,metro(X)=(-1)metro[1-X2]metro/2DmetroPAGl(X)DXmetro{\ Displaystyle P_ {l, m} (x) = (- 1) ^ {m} \ left [1-x ^ {2} \ right] ^ {m / 2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {m} P_ {l} (x)} {\ mathrm {d} x ^ {m}}}}
ya sea explícitamente:
PAGl,metro(X)=(-1)metro2ll![1-X2]metro/2Dl+metro DXl+metro[X2-1]l{\ Displaystyle P_ {l, m} (x) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {l} l!}} \ left [1-x ^ {2} \ right] ^ {m / 2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {l + m} ~} {\ mathrm {d} x ^ {l + m}}} \ left [x ^ {2} -1 \ derecha] ^ {l}}
Nota: en la práctica, basta con calcular las funciones P l , m ( x ) para m ≥ 0 , porque existe una relación simple entre P l , m ( x ) y P l , - m ( x ) :
PAGl,-metro(X)=(-1)metro(l-metro)!(l+metro)!PAGl,metro(X){\ Displaystyle P_ {l, -m} (x) = (- 1) ^ {m} {\ frac {(lm)!} {(l + m)!}} P_ {l, m} (x)}
Expresión de armónicos esféricos
Luego obtenemos la expresión que se enumera a continuación. Una forma fácil de recordar esta expresión es la siguiente:
Yl,0=PAGl(porqueθ)⋅2l+14π{\ Displaystyle Y_ {l, 0} = P_ {l} (\ cos \ theta) \ cdot {\ sqrt {\ frac {2l + 1} {4 \ pi}}}},
donde P l ( x ) es el polinomio de Legendre de grado l .
Entonces obtenemos:
J+Yl,metro=(l2-metro2)+(l-metro)⋅Yl,metro+1{\ Displaystyle J _ {+} Y_ {l, m} = {\ sqrt {(l ^ {2} -m ^ {2}) + (lm)}} \ cdot Y_ {l, m + 1}}
o
J+=miIϕ(∂∂θ+Ibroncearseθ⋅∂∂ϕ){\ Displaystyle J _ {+} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi} \ left ({\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} + {\ frac {\ mathrm {i }} {\ tan \ theta}} \ cdot {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ phi}} \ derecha)}
es el operador de la "escalera ascendente".
Para m negativo,Yl,metro=(-1)metro⋅Yl,-metro∗{\ Displaystyle Y_ {l, m} = (- 1) ^ {m} \ cdot Y_ {l, -m} ^ {*}}
A menudo se observa esta base :
|lmetro⟩{\ Displaystyle | lm \ rangle}
Por tanto, cualquier función en la esfera S 2 se puede escribir:
F(θ,ϕ)=Fl,metro⋅|lmetro⟩{\ Displaystyle f (\ theta, \ phi) = f ^ {l, m} \ cdot | lm \ rangle}
(en la convención de suma de Einstein ), los coeficientes complejos f l , m juegan el papel de componentes de f en la base de (a veces decimos coeficientes de Fourier generalizados).
|lmetro⟩{\ Displaystyle | lm \ rangle}
En química o geofísica, sucede que preferimos usar armónicos esféricos "reales" y coeficientes de Fourier reales.
Expresión matemática
Los armónicos esféricos forman una base ortogonal en la esfera unitaria, cualquier función continua f ( θ , φ ) se descompone en una serie de armónicos esféricos:
F(θ,φ)=∑l=0+∞∑metro=-l+lVSlmetro⋅Ylmetro(θ,φ){\ Displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {+ l} C_ {l} ^ {m} \ cdot Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}
donde l y m son enteros índices , Cm
l es un coeficiente constante ya menudo en matemáticas toma el nombre de coeficiente de Fourier generalizado relativo a esta base.
La expansión en armónicos esféricos es el equivalente, aplicado a funciones angulares, del desarrollo en series de Fourier para funciones periódicas .
Ym
les la parte real de una función compleja Ym
l
Ylmetro(θ,φ)=Re(Ylmetro_(θ,φ)){\ Displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = \ operatorname {Re} \ left ({\ underline {Y_ {l} ^ {m}}} (\ theta, \ varphi) \ right )}
Ym
l se llama "función de Legendre asociada" y se define por
Ylmetro_(θ,φ)=2⋅(l-metro)!(l+metro)!⋅PAGlmetro(porqueθ)⋅miImetroφ{\ Displaystyle {\ underline {Y_ {l} ^ {m}}} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot (lm)!} {(l + m)!}}} \ cdot P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} m \ varphi}}
donde i es el imaginario y Pm
les el polinomio de Legendre asociado :
PAGlmetro(X)=(-1)metro2l⋅l!⋅(1-X2)metro/2⋅∂metro+l∂Xmetro+l[(X2-1)l]{\ Displaystyle P_ {l} ^ {m} (X) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {l} \ cdot l!}} \ cdot (1-X ^ {2} ) ^ {m / 2} \ cdot {\ frac {\ parcial ^ {m + l}} {\ parcial X ^ {m + l}}} \ left [(X ^ {2} -1) ^ {l} \ derecho]}
Entonces tenemos
Ylmetro(θ,φ)=2⋅(l-metro)!(l+metro)!⋅PAGlmetro(porqueθ)⋅porque(metroφ){\ Displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot (lm)!} {(l + m)!}}} \ cdot P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ cdot \ cos (m \ varphi)}
Tenemos por ejemplo:
-
PAG00(porqueθ)=1{\ Displaystyle P_ {0} ^ {0} (\ cos \ theta) = 1}( Y0
0 es isotrópico);
-
PAG10(porqueθ)=porqueθ{\ Displaystyle P_ {1} ^ {0} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta} ;
-
PAG11(porqueθ)=-pecadoθ{\ Displaystyle P_ {1} ^ {1} (\ cos \ theta) = - \ sin \ theta} ;
-
PAG31(porqueθ)=32⋅pecadoθ⋅(-5⋅porque2θ+1){\ Displaystyle P_ {3} ^ {1} (\ cos \ theta) = {\ frac {3} {2}} \ cdot \ sin \ theta \ cdot (-5 \ cdot \ cos ^ {2} \ theta + 1)} ;
Funciones Ym
l( θ , φ ) presentan cada vez más simetrías a medida que l aumenta (excepto cuando l = 0 , ya que Y0
0 es una función constante y por lo tanto describe una esfera).
Polinomios de Legendre
Para armónicos circulares se utilizan polinomios P l de la función coseno :
Yl(θ)=PAGl(porqueθ){\ Displaystyle Y_ {l} (\ theta) = P_ {l} (\ cos \ theta)}
Los polinomios P l utilizados son los polinomios de Legendre :
PAGl(X)=12l⋅l!⋅DlDXl[(X2-1)l]{\ Displaystyle P_ {l} (X) = {\ frac {1} {2 ^ {l} \ cdot l!}} \ cdot {\ frac {d ^ {l}} {dX ^ {l}}} \ izquierda [(X ^ {2} -1) ^ {l} \ right]}
(Fórmula de
Rodrigues , matemático francés)
Obtenemos :
-
PAG0(porqueθ)=1 {\ Displaystyle P_ {0} (\ cos \ theta) = 1 ~} (función isotrópica);
-
PAG1(porqueθ)=porqueθ {\ Displaystyle P_ {1} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta ~} ;
-
PAG2(porqueθ)=12(3porque2θ-1){\ Displaystyle P_ {2} (\ cos \ theta) = {\ frac {1} {2}} (3 \ cos ^ {2} \ theta -1)} ;
-
PAG3(porqueθ)=12(5porque3θ-3porqueθ){\ Displaystyle P_ {3} (\ cos \ theta) = {\ frac {1} {2}} (5 \ cos ^ {3} \ theta -3 \ cos \ theta)} ;
Armónicos esféricos estandarizados
Base ortonormal de armónicos esféricos
Entre las funciones 2 l +1 , se ha vuelto habitual seleccionar una base ortonormal en la esfera proporcionada con la medida
S2{\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}
Dμ=14πpecadoθDθDϕ{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mu = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi},
ya sea el producto escalar ( hermitiano de hecho):
⟨F1∣F2⟩=14π∬S2F1∗F2pecadoθDθDϕ{\ Displaystyle \ langle f_ {1} \ mid f_ {2} \ rangle = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iint _ {S ^ {2}} f_ {1} ^ {*} f_ { 2} \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi}
Los armónicos esféricos son las soluciones de la ecuación de valor propio:
-ΔYl,metro(θ,φ)=l(l+1)Yl,metro(θ,φ){\ Displaystyle - \ Delta Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = l (l + 1) Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}
donde el operador laplaciano está escrito en coordenadas esféricas en la esfera de radio unitario J 2 :
ΔF(θ,φ)=DmiFJ2F=1pecadoθ∂ ∂θ(pecadoθ∂F∂θ)+1pecado2θ∂2F∂φ2{\ Displaystyle \ Delta f (\ theta, \ varphi) {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} J ^ {2} f = {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial ~} {\ parcial \ theta}} \ izquierda (\ sin \ theta {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ theta}} \ derecha) + {\ frac {1} {\ sin ^ {2 } \ theta}} {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial \ varphi ^ {2}}}}
Son funciones propias del operador :
J3=-I∂∂ϕ{\ Displaystyle J_ {3} = - \ mathrm {i} {\ tfrac {\ parcial} {\ parcial \ phi}}}
J3Yl,metro=metro⋅Yl,metro{\ Displaystyle J_ {3} Y_ {l, m} = m \ cdot Y_ {l, m}}
Estos, una vez normalizado sobre la esfera están entonces generalmente denotado Y l, m ( θ , φ ) , donde los ángulos ( θ , varphi ) son las coordenadas esféricas de la esfera de radio unidad, y l y m son dos números enteros tales como 0 ≤ l y - l ≤ m ≤ + l
Estandarización
Los armónicos esféricos constituyen una base ortonormal de las funciones propias del operador laplaciano en la esfera de radio unitario S 2 en el sentido de que:
Son ortogonales para el siguiente producto escalar:
∬S2DΩ(θ,φ)Y¯l′,metro′(θ,φ)Yl,metro(θ,φ)=δl,l′δmetro,metro′{\ Displaystyle \ iint _ {S_ {2}} \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) {\ overline {Y}} _ {l ', m'} (\ theta, \ varphi) Y_ { l, m} (\ theta, \ varphi) = \ delta _ {l, l '} \ delta _ {m, m'}}
En esta fórmula, dΩ ( θ , φ ) representa el ángulo sólido elemental:
DΩ(θ,φ)=pecadoθDθDφ{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) = \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ varphi}
Cualquier función f ( θ , φ ) suficientemente regular admite una expansión en serie:
F(θ,φ)=∑l=0+∞∑metro=-l+lal,metroYl,metro(θ,φ){\ Displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {+ l} a_ {l, m} Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}
donde los coeficientes complejos a l , m se calculan mediante:
al,metro=∬S2DΩ(θ,φ)Y¯l,metro(θ,φ)F(θ,φ){\ Displaystyle a_ {l, m} = \ iint _ {S_ {2}} \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) {\ overline {Y}} _ {l, m} (\ theta, \ varphi) f (\ theta, \ varphi)}
Expresión de armónicos esféricos normalizados
Los armónicos esféricos generalizados se definen en la esfera S 3 . La normalización de los armónicos esféricos conduce a la expresión final:
Yl,metro(θ,φ)=(-1)12(metro+|metro|)(2l+1)4π(l-|metro|)!(l+|metro|)!PAGl,|metro|(porqueθ)miImetroφ{\ Displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = (- 1) ^ {{\ frac {1} {2}} (m + | m |)} {\ sqrt {{\ frac {( 2l +1)} {4 \ pi}} {\ frac {(l- | m |)!} {(L + | m |)!}}}} P_ {l, | m |} (\ cos \ theta ) \ mathrm {e} ^ {i \, m \, \ varphi}}
Forma "real" de armónicos esféricos
Si m ≠ 0 los armónicos esféricos tienen valores complejos. Sin embargo, es posible, para un valor dado de definir combinaciones lineales de las cuales son reales, sin dejar de constituir una base normalizada en la esfera unitaria.
Yℓ,metro{\ Displaystyle Y _ {\ ell, m}}ℓ{\ Displaystyle \ ell}Yℓ,metro{\ Displaystyle Y _ {\ ell, m}}
Para ello basta con tomar las siguientes combinaciones lineales:
Y~ℓmetro={I2(Yℓmetro-(-1)metroYℓ-metro)Si metro<0,Yℓ0Si metro=0,12(Yℓ-metro+(-1)metroYℓmetro)Si metro>0.={I2(Yℓ-|metro|-(-1)metroYℓ|metro|)Si metro<0,Yℓ0Si metro=0,12(Yℓ-|metro|+(-1)metroYℓ|metro|)Si metro>0.{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ tilde {Y}} _ {\ ell m} & = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ mathrm {i} \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell} ^ {m} - (- 1) ^ {m} \, Y _ {\ ell} ^ {- m} \ right) & {\ text {si}} \ m <0, \ \\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {0} & {\ text {si}} \ m = 0, \\\ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell } ^ {- m} + (- 1) ^ {m} \, Y _ {\ ell} ^ {m} \ right) & {\ text {si}} \ m> 0. \ end {cases}} \ \ & = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ mathrm {i} \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell} ^ {- | m |} - (- 1) ^ { m} \, Y_ {\ ell} ^ {| m |} \ right) & {\ text {si}} \ m <0, \\\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {0} & {\ text { si}} \ m = 0, \\\ estilo de visualización {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell} ^ {- | m |} + (- 1) ^ {m} \ , Y _ {\ ell} ^ {| m |} \ right) & {\ text {si}} \ m> 0. \ end {cases}} \\\ end {alineado}}}Es fácil comprobar que estas expresiones están normalizadas a la unidad. Estas relaciones se invierten fácilmente para dar:
Yℓmetro={12(Y~ℓ|metro|-IY~ℓ,-|metro|)Si metro<0,Y~ℓ0Si metro=0,(-1)metro2(Y~ℓ|metro|+IY~ℓ,-|metro|)Si metro>0.{\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} = {\ begin {cases} \ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left ({\ tilde {Y}} _ {\ ell | m |} - \ mathrm {i} {\ tilde {Y}} _ {\ ell, - | m |} \ right) & {\ text {si}} \ m <0, \\\ displaystyle {\ tilde {Y }} _ {\ ell 0} & {\ text {si}} \ m = 0, \\\ displaystyle {(-1) ^ {m} \ over {\ sqrt {2}}} \ left ({\ tilde {Y}} _ {\ ell | m |} + \ mathrm {i} {\ tilde {Y}} _ {\ ell, - | m |} \ right) & {\ text {si}} \ m> 0 . \ end {casos}}}Sustituyendo las expresiones anteriores por armónicos esféricos, obtenemos las siguientes expresiones generales:
Y~ℓmetro={2(2ℓ+1)4π(ℓ-|metro|)!(ℓ+|metro|)!PAGℓ|metro|(porqueθ)pecado|metro|φSi metro<0,(2ℓ+1)4πPAGℓ0(porqueθ)Si metro=0,2(2ℓ+1)4π(ℓ-metro)!(ℓ+metro)!PAGℓmetro(porqueθ)porquemetroφSi metro>0.{\ displaystyle {\ tilde {Y}} _ {\ ell m} = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ sqrt {2}} {\ sqrt {{(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi} {(\ ell - | m |)! \ over (\ ell + | m |)!}}} P _ {\ ell} ^ {| m |} (\ cos \ theta) \ sin | m | \ varphi & {\ mbox {si}} m <0 , \\\ displaystyle {\ sqrt {(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi}} P _ {\ ell} ^ {0} (\ cos \ theta) & {\ mbox {si}} m = 0 , \ \\ displaystyle {\ sqrt {2}} {\ sqrt {{(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi} {(\ ell -m)! \ over (\ ell + m)!}}} P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta) \ cos m \ varphi & {\ mbox {si}} m> 0. \ end {cases} }}Estas funciones se utilizan con frecuencia en química cuántica para representar las partes angulares de los diferentes orbitales atómicos asociados con los diferentes electrones de la procesión electrónica de átomos .
Representaciones gráficas
Representación esférica
Si usamos la representación esférica
ρ=ρ0+ρ1⋅Ylmetro(θ,φ){\ Displaystyle \ rho = \ rho _ {0} + \ rho _ {1} \ cdot Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}
entonces la superficie representativa es una esfera irregular; las protuberancias corresponden a las partes donde Ym
les positivo, los valles en las partes donde Ym
les negativo. Cuando θ y φ describen el intervalo [0; 2π [ , Ym
l( θ , φ ) desaparece según l círculos:
-
m círculos siguientes un meridiano , un iso- longitud (intersección entre un plano que contiene Oz y la esfera);
-
l - m círculos a lo largo de un paralelo , un iso- latitud (intersección entre un plano paralelo a Oxy y la esfera).
El parámetro l se llama "grado", m se llama "orden azimutal". Entre los círculos de cancelación, la función es alternativamente positiva o negativa.
A continuación se muestran cuatro secciones transversales del armónico esférico Y2
3 :
Como antes, podemos representar la función mediante la curva en coordenadas esféricas:
Y32{\ Displaystyle Y_ {3} ^ {2}}
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ρ=ρ0+ρ1⋅Y32(θ,φ){\ Displaystyle \ rho = \ rho _ {0} + \ rho _ {1} \ cdot Y_ {3} ^ {2} (\ theta, \ varphi)} las partes en blanco son positivas, en azul negativas
|
ρ=|Y32(θ,φ)|2{\ Displaystyle \ rho = | Y_ {3} ^ {2} (\ theta, \ varphi) | ^ {2}}
|
Representación seccional
Los armónicos esféricos se pueden representar de una forma más sencilla sin vibrar vientres, manteniendo solo los nodos, como se muestra en la siguiente tabla. Estas son las esferas de la figura superior, proyectadas sobre un plano vertical. Encontramos en la última línea las cuatro esferas de la primera figura de arriba donde l = 3 . Los cuatro valores de my varían de 0 a 3 en valor absoluto. En la siguiente figura distinguimos los valores negativos para tener en cuenta que la rotación se puede hacer en un sentido u otro para m > 0 . Para mostrar la concordancia con los armónicos, se da su expresión más simple debajo de cada esfera.
Reconocemos los números cuánticos secundaria l , correspondiente a la s , p , d , f y m , magnéticos subcapas del átomo de hidrógeno. El número cuántico principal n no aparece porque los modos radiales son diferentes según el problema estudiado, resonancia acústica, átomo de hidrógeno u otro.
Para mostrar la concordancia con la literatura, la expresión de los armónicos esféricos se da debajo de cada esfera. El número y el valor de los ceros de los polinomios de Legendre no normalizados asociados dan el número de paralelos y su posición en el eje vertical. La exp exponencial imaginaria (i mϕ ) , de módulo unitario, que se usa generalmente en lugar de senos y cosenos, da el número de meridianos. Los valores de l ≥ 4 solo se observan en estados excitados o átomos de Rydberg donde el valor habitual de l es 50 y cuyo orbital no está representado por una esfera sino por un anillo.
Representación cartesiana y polar
Podemos representar armónicos circulares de tres formas:
- en coordenadas cartesianas : y = Y l ( θ ) ;
- en coordenadas polares : r = r 0 + r 1 Y l ( θ )
con r 1 < r 0 , utilizado por ejemplo para un objeto circular ; la curva interseca el círculo con el centro O y el radio r 0 cuando se cancela la función;
- en coordenadas polares : r = | Y l ( θ ) | 2
utilizado, por ejemplo, para funciones de onda en física cuántica.
Tres primeros armónicos circulares
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Representación cartesiana
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Representaciones polares (dibujo manual)
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Representaciones polares (gráfico exacto)
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Y 1 |
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Y 2 |
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Y 3 |
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Otros armónicos
Armónicos circulares
En el plano, la descomposición se escribe:
F(θ)=∑l=0+∞VSl⋅Yl(θ){\ Displaystyle f (\ theta) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} C_ {l} \ cdot Y_ {l} (\ theta)}
Y 0 es una función constante, la curva representativa en coordenadas polares r = Y 0 ( θ ) es por tanto un círculo de radio r 0 .
Y l es una función invariante por una rotación de un ángulo de1/l +1 gira, es decir que
Yl(θ+2πl+1)=Yl(θ){\ Displaystyle Y_ {l} \ left (\ theta + {\ frac {2 \ pi} {l + 1}} \ right) = Y_ {l} (\ theta)}
decimos que Y l admite una simetría de orden l + 1 .
Armónicos esféricos generalizados
Al considerar la orientación de un objeto en el espacio, es necesario apelar a tres ángulos; generalmente usamos ángulos de Euler ( ψ , θ , φ ) .
Considere una función continua de orientación f ( ψ , θ , φ ) ; como antes, esta función se puede dividir en armónicos esféricos generalizados
F(ψ,θ,φ)=∑l=0+∞∑metro=-l+l∑no=-l+lVSlmetrono⋅Ylmetrono(ψ,θ,φ){\ Displaystyle f (\ psi, \ theta, \ varphi) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {+ l} \ sum _ {n = - l} ^ {+ l} C_ {l} ^ {mn} \ cdot Y_ {l} ^ {mn} (\ psi, \ theta, \ varphi)}
donde Cmn
les una constante. La función Ymn
l está escrito:
Ylmetrono(ψ,θ,φ)=miImetroφ⋅PAGlmetrono(porqueθ)⋅miInoψ{\ Displaystyle Y_ {l} ^ {mn} (\ psi, \ theta, \ varphi) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} m \ varphi} \ cdot P_ {l} ^ {mn} (\ cos \ theta) \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} n \ psi}}
El polinomio Pmn
l es el polinomio de Legendre generalizado
PAGlmetrono(X)=(-1)l-metro⋅Ino-metro2l⋅(l-metro)!⋅[(l-metro)!(l+no)!(l+metro)!(l-no)!]1/2⋅(1-X)-no-metro2{\ Displaystyle P_ {l} ^ {mn} (X) = {\ frac {(-1) ^ {lm} \ cdot \ mathrm {i} ^ {nm}} {2 ^ {l} \ cdot (lm) !}} \ cdot \ left [{\ frac {(lm)! (l + n)!} {(l + m)! (ln)!}} \ right] ^ {1/2} \ cdot (1- X) ^ {- {\ frac {nm} {2}}}}⋅(1+X)-no+metro2⋅∂l-no∂Xl-no[(1-X)l-metro(1+X)l+metro]{\ Displaystyle \ cdot (1 + X) ^ {- {\ frac {n + m} {2}}} \ cdot {\ frac {\ parcial ^ {ln}} {\ parcial X ^ {ln}}} \ izquierda [(1-X) ^ {lm} (1 + X) ^ {l + m} \ right]}
Cuando X describe el intervalo [-1; 1] , esta función Pmn
les real o imaginario puro. Y00
0( ψ , θ , φ ) es la función isotrópica (simetría esférica).
Según la ley de composición de rotaciones, tenemos:
Ylmetrono(ψ1+ψ2,θ1+θ2,φ1+φ2)=∑s=-l+lYlmetros(ψ1,θ1,φ1)⋅Ylsno(ψ2,θ2,φ2){\ Displaystyle Y_ {l} ^ {mn} (\ psi _ {1} + \ psi _ {2}, \ theta _ {1} + \ theta _ {2}, \ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}) = \ sum _ {s = -l} ^ {+ l} Y_ {l} ^ {ms} (\ psi _ {1}, \ theta _ {1}, \ varphi _ {1}) \ cdot Y_ {l} ^ {sn} (\ psi _ {2}, \ theta _ {2}, \ varphi _ {2})}
y, en particular
PAGlmetrono(porque(θ1+θ2))=∑s=-l+lPAGlmetros(porqueθ1)⋅PAGlsno(porqueθ2){\ Displaystyle P_ {l} ^ {mn} (\ cos (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})) = \ sum _ {s = -l} ^ {+ l} P_ {l} ^ {ms} (\ cos \ theta _ {1}) \ cdot P_ {l} ^ {sn} (\ cos \ theta _ {2})}
En general, tenemos:
PAGlmetrono=PAGlnometro=PAGl-metro-no{\ Displaystyle P_ {l} ^ {mn} = P_ {l} ^ {nm} = P_ {l} ^ {- mn}}
Por ejemplo, para l = 1 :
PAG1metrono(porqueθ){\ Displaystyle P_ {1} ^ {mn} (\ cos \ theta)}
metro
|
no
|
---|
-1
|
0
|
+1
|
-1
|
12(1+porqueθ){\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (1+ \ cos \ theta)}
|
-I2pecadoθ{\ Displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
12(porqueθ-1){\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (\ cos \ theta -1)}
|
0
|
-I2pecadoθ{\ Displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
porqueθ{\ Displaystyle \ cos \ theta}
|
-I2pecadoθ{\ Displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
1
|
12(porqueθ-1){\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (\ cos \ theta -1)}
|
-I2pecadoθ{\ Displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
12(1+porqueθ){\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (1+ \ cos \ theta)}
|
Para l = 2 :
PAG2metrono(porqueθ){\ Displaystyle P_ {2} ^ {mn} (\ cos \ theta)}
metro
|
no
|
---|
-2
|
-1
|
0
|
+1
|
+2
|
-2
|
14(porqueθ+1)2{\ Displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta +1) ^ {2}}
|
-I2pecadoθ(porqueθ+1){\ Displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
-1232(1-porque2θ){\ Displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
-I2pecadoθ(porqueθ-1){\ Displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
14(porqueθ-1)2{\ Displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta -1) ^ {2}}
|
-1
|
-I2pecadoθ(porqueθ+1){\ Displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
12(2porque2θ+porqueθ-1){\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta + \ cos \ theta -1)}
|
-32Ipecadoθporqueθ{\ Displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
12(2porque2θ-porqueθ-1){\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta - \ cos \ theta -1)}
|
-I2pecadoθ(porqueθ-1){\ Displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
0
|
-1232(1-porque2θ){\ Displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
-32Ipecadoθporqueθ{\ Displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
12(3porque2θ-1){\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (3 \ cos ^ {2} \ theta -1)}
|
-32Ipecadoθporqueθ{\ Displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
-1232(1-porque2θ){\ Displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
1
|
-I2pecadoθ(porqueθ-1){\ Displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
12(2porque2θ-porqueθ-1){\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta - \ cos \ theta -1)}
|
-32Ipecadoθporqueθ{\ Displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
12(2porque2θ+porqueθ-1){\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta + \ cos \ theta -1)}
|
-I2pecadoθ(porqueθ+1){\ Displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
2
|
14(porqueθ-1)2{\ Displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta -1) ^ {2}}
|
-I2pecadoθ(porqueθ-1){\ Displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
-1232(1-porque2θ){\ Displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
-I2pecadoθ(porqueθ+1){\ Displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
14(porqueθ+1)2{\ Displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta +1) ^ {2}}
|
Notas y referencias
-
Introdujimos un signo menos para tener valores propios positivos . De hecho, el operador laplaciano es un operador negativo en el sentido de que, para cualquier función suave ϕ con soporte compacto, tenemos:∫ϕΔϕ=-∫‖gramoraDϕ‖2{\ Displaystyle \ int \ phi \ Delta \ phi = - \ int \ | \ mathrm {grad} \ phi \ | ^ {2}}
Esta igualdad se demuestra usando la relación Δ = div grad e integrando por partes .
-
Bernard Schaeffer, Relatividades y cuantos clarificados , Publibook, 2007
-
Átomos circulares: propiedades y preparación
Ver también
Artículos relacionados
enlaces externos
Bibliografía
- Isaac Todhunter, Un tratado elemental sobre las funciones de Laplace, las funciones de Lame y las funciones de Bessel , Macmillan and Co, 1875.
- Norman McLeod Ferrers, Un tratado elemental sobre armónicos esféricos y temas relacionados con ellos , Macmillan and Co, 1877.
- William Ellwood Byerly, Tratado elemental sobre la serie de Fourier y armónicos esféricos, cilíndricos y elipsoidales con aplicaciones a problemas de física matemática , Ginn & Co, 1893.
- René Lagrange, Polynômes et functions de Legendre coll. "Ciencias Matemáticas Memorial" n o 97, Gauthier-Villars, 1939.
- IS Gradshteyn e IM Ryzhik, Tabla de integrales, series y productos , eds. Alan Jeffrey y Daniel Zwillinger, Academic Press ( 6 ª edición, 2000) ( ISBN 0-12-294757-6 ) . Errata en el sitio web de los editores: [http: //www.mathtable.com/gr/ www.mathtable.com].
- John D. Jackson, Electrodinámica clásica - Curso y ejercicios de electromagnetismo , Dunod, 2001) ( ISBN 2-10-004411-7 ) . Traducción al francés de la 3 ª edición del gran clásico americano.
-
JL Basdevant y J. Dalibard, Quantum Mechanics [ detalle de ediciones ].
-
C. Cohen-Tannoudji , B. Diu y F. Laloë , Mecánica cuántica [ detalle de la edición ].
-
Albert Messiah , Mecánica Cuántica [ detalle de las ediciones ].
- H.-J. Bunge, Análisis de texturas en ciencia de materiales - Métodos matemáticos , ed. Butterworths, 1969 (1982 para la traducción al inglés): para armónicos esféricos generalizados.
-
Yvette Kosmann-Schwarzbach , Grupos y simetrías: grupos finitos, grupos y álgebras de Lie, representaciones , Éditions de l'École polytechnique,julio de 2006 ; capítulo 7, “Armónicos esféricos” ( ISBN 978-2-7302-1257-1 ) .
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