Función convexo-cóncava

En matemáticas , una función convexo-cóncava es una función definida sobre un producto de espacios vectoriales reales , que es convexa con respecto a la primera variable (cualquiera que sea la segunda variable) y cóncava con respecto a la segunda (cualquiera que sea la primera). Una función cóncava-convexa es una función cuyo opuesto es convexo-cóncavo. Estos dos tipos de funciones a veces se agrupan bajo el término función punto silla , que por tanto es una noción menos precisa (no decimos si la convexidad se produce con respecto a la primera o la segunda variable) y que lleva a confusión. (estas funciones no necesariamente tienen un punto silla ).

Las funciones convexas-cóncava aparecen optimización (la función de Lagrange es un ejemplo), en los problemas de equilibrio ( teoría de juegos ), etc .

Conocimiento asumido  : nociones de funciones convexas y cóncavas , de sub-diferenciabilidad .

Definiciones

Sean y dos espacios vectoriales sobre el conjunto de reales . Denotamos la línea real completada . mi{\ Displaystyle \ mathbb {E}}F{\ Displaystyle \ mathbb {F}}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}R¯: =R∪{-∞,+∞}{\ Displaystyle {\ bar {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}

Función convexa-cóncava  :  se dice que una función es convexa-cóncava , si φ:mi×F→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}

• para todo , la función es convexa ,y∈F{\ Displaystyle y \ in \ mathbb {F}}X∈mi→φ(X,y)∈R¯{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {E} \ to \ varphi (x, y) \ in {\ bar {\ mathbb {R}}}}
• para todo , la función es cóncava .X∈mi{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {E}}y∈F→φ(X,y)∈R¯{\ Displaystyle y \ in \ mathbb {F} \ to \ varphi (x, y) \ in {\ bar {\ mathbb {R}}}}

Se dice que una función convexo-cóncava es adecuada si existe un punto tal que no toma el valor y no toma el valor (por lo tanto ); el dominio efectivo de es el conjunto de puntos que satisfacen esta propiedad; lo notamos . φ{\ Displaystyle \ varphi}(X0,y0)∈mi×F{\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F}}φ(⋅,y0){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y_ {0})}-∞{\ Displaystyle - \ infty}φ(X0,⋅){\ Displaystyle \ varphi (x_ {0}, \ cdot)}+∞{\ Displaystyle + \ infty}φ(X0,y0)∈R{\ Displaystyle \ varphi (x_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbb {R}}φ{\ Displaystyle \ varphi}(X0,y0){\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}dom⁡φ{\ Displaystyle \ operatorname {dom} \ varphi}

Función convexa-cóncava cerrada

La definición de una función convexa-cóncava cerrada no debe confundirse con la de una función convexa cerrada . Si el cierre de una función (convexa) es equivalente a su semicontinuidad inferior, el cierre de una función convexo-cóncava no lo es. Esta última noción es también más general ( es decir , menos fuerte) que la semicontinuidad inferior en comparación con la primera variable unida a la semicontinuidad superior en comparación con la segunda variable. De hecho, ofrece unas condiciones bastante generales que garantizan la máxima monotonía de un “operador derivado” asociado. Lo hacemos de la siguiente manera.

Función convexa-cóncava cerrada  -  Sea una función convexa-cóncava. φ:mi×F→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}

• Apuntamos adherirseX⁡φ:mi×F→R¯{\ Displaystyle \ operatorname {adh} _ {x} \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}
  
  la función tal que, para todo , es el cierre de la función convexa . Asimismo, notamosy∈F{\ Displaystyle y \ in \ mathbb {F}}adherirseX⁡φ(⋅,y){\ Displaystyle \ operatorname {adh} _ {x} \ varphi (\ cdot, y)}φ(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y)} adherirsey⁡φ:mi×F→R¯{\ Displaystyle \ operatorname {adh} _ {y} \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}
  
  la función tal que, para todo , es el cierre de la función convexa .X∈mi{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {E}}-adherirsey⁡φ(X,⋅){\ Displaystyle - \ operatorname {adh} _ {y} \ varphi (x, \ cdot)}-φ(X,⋅){\ Displaystyle - \ varphi (x, \ cdot)}
• Decimos que es equivalente a la función convexo-cóncava siφ{\ Displaystyle \ varphi}φ~:mi×F→R¯{\ Displaystyle {\ tilde {\ varphi}}: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}
  adherirseX⁡φ=adherirseX⁡φ~yadherirsey⁡φ=adherirsey⁡φ~.{\ Displaystyle \ operatorname {adh} _ {x} \ varphi = \ operatorname {adh} _ {x} {\ tilde {\ varphi}} \ qquad {\ mbox {y}} \ qquad \ operatorname {adh} _ { y} \ varphi = \ operatorname {adh} _ {y} {\ tilde {\ varphi}}.}
  
  Es una relación de equivalencia.
• Decimos que está cerrado , si y son equivalentes a , lo que equivale a decir queφ{\ Displaystyle \ varphi}adherirseX⁡φ{\ Displaystyle \ operatorname {adh} _ {x} \ varphi}adherirsey⁡φ{\ Displaystyle \ operatorname {adh} _ {y} \ varphi}φ{\ Displaystyle \ varphi}
  adherirseX⁡(adherirsey⁡φ)=adherirseX⁡φyadherirsey⁡(adherirseX⁡φ)=adherirsey⁡φ.{\ Displaystyle \ operatorname {adh} _ {x} (\ operatorname {adh} _ {y} \ varphi) = \ operatorname {adh} _ {x} \ varphi \ qquad {\ mbox {y}} \ qquad \ operatorname {adh} _ {y} (\ operatorname {adh} _ {x} \ varphi) = \ operatorname {adh} _ {y} \ varphi.}
  
  

Monotonía

Sabemos que una función real de una variable real diferenciable y convexa tiene su derivada creciente . Este hecho se generaliza a funciones eigenconvexas, definidas en un espacio vectorial, por el hecho de que su sub-diferencial es un operador monótono (ver aquí ). El resultado a continuación muestra que también tenemos una relación de monotonicidad para un operador sub-diferencial asociado con una función convexo-cóncava.

Denotamos el sub-diferencial de la función convexa en , el sub-diferencial de la función convexa en y el dominio del operador de muchos a muchos . ∂Xφ(X,y){\ estilo de visualización \ parcial _ {x} \ varphi (x, y)}φ(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y)}X{\ Displaystyle x}∂y(-φ)(X,y){\ estilo de visualización \ parcial _ {y} (- \ varphi) (x, y)}-φ(X,⋅){\ Displaystyle - \ varphi (x, \ cdot)}y{\ Displaystyle y}domT: ={(X,y)∈mi×F:T(X,y)≠∅}{\ Displaystyle \ operatorname {dom} \, T: = \ {(x, y) \ in \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F}: T (x, y) \ neq \ varnothing \}} T{\ Displaystyle T}

Monotonía  :  sean y sean dos espacios vectoriales topológicos localmente convexos separados y una función convexa-cóncava adecuada. Entonces, el operador de muchos a muchos definido por mi{\ Displaystyle \ mathbb {E}}F{\ Displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×F→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}} T:mi×F⊸mi′×F′{\ Displaystyle T: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ multimap \ mathbb {E} '\ times \ mathbb {F}'}(X,y)∈mi×F{\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F}}

T(X,y)=∂Xφ(X,y)×∂y(-φ)(X,y){\ Displaystyle T (x, y) = \ partial _ {x} \ varphi (x, y) \ times \ partial _ {y} (- \ varphi) (x, y)}

es monótono . De más

domT⊂domφ.{\ Displaystyle \ operatorname {dom} \, T \ subset \ operatorname {dom} \, \ varphi.}

El operador introducido en el resultado de monotonicidad anterior se denomina operador monotónico asociado con . Podemos verificar fácilmente que T{\ Displaystyle T} φ{\ Displaystyle \ varphi}

(X∗,y∗)∈T(X,y)⟺{(X,y) es un punto de silla de(X′,y′)↦φ(X′,y′)-⟨X∗,X′⟩+⟨y∗,y′⟩.{\ Displaystyle (x ^ {*}, y ^ {*}) \ in T (x, y) \ qquad \ Longleftrightarrow \ qquad \ left \ {{\ begin {array} {l} (x, y) ~ { \ mbox {es un punto de silla de}} \\ (x ', y') \ mapsto \ varphi (x ', y') - \ langle x ^ {*}, x '\ rangle + \ langle y ^ {* }, y '\ rangle. \ end {matriz}} \ right.}

En particular

(0,0)∈T(X,y)⟺(X,y) es un punto de silla de φ.{\ displaystyle (0,0) \ in T (x, y) \ qquad \ Longleftrightarrow \ qquad (x, y) ~ {\ mbox {es un punto de silla de}} ~ \ varphi.}

Máxima monotonía

En esta sección, examinamos la máxima monotonía del operador monótono asociado con una función convexo-cóncava introducida en la sección anterior . Esta propiedad juega un papel fundamental en el hecho de que la inclusión pueda tener una solución , así como en la convergencia de los algoritmos que calculan dicha solución; es en cierto modo la contraparte de la semicontinuidad inferior de las funciones en optimización. T{\ Displaystyle T}0∈T(X){\ Displaystyle 0 \ en T (x)}X{\ Displaystyle x}

Comenzamos con un resultado para funciones convexo-cóncavas que toman solo valores finitos.

Monotonía máxima I (función de valores finitos)  -  Sean y dos espacios vectoriales topológicos localmente convexos separados y una función cóncava-convexa que toma valores finitos y tales que mi{\ Displaystyle \ mathbb {E}}F{\ Displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×F→R{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to \ mathbb {R}}

• por todo , es continuo,y∈F{\ Displaystyle y \ in \ mathbb {F}}φ(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y)}
• para todo , es continuo.X∈mi{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {E}}φ(X,⋅){\ Displaystyle \ varphi (x, \ cdot)}

Entonces, el operador monótono asociado con es monótono máximo. Además, para todos , es un convexo débil- compacto no vacío de . T{\ Displaystyle T}φ{\ Displaystyle \ varphi}(X,y)∈mi×F{\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F}}T(X,y){\ Displaystyle T (x, y)}∗{\ Displaystyle *}mi′×F′{\ Displaystyle \ mathbb {E} '\ times \ mathbb {F}'}

Sabiendo que una función convexa que toma solo valores finitos y definida en un espacio vectorial de dimensión finita es necesariamente continua, obtenemos inmediatamente el siguiente corolario.

Corolario (dimensión finita)  :  sean y sean dos espacios vectoriales de dimensión finita y una función cóncava-convexa que toma valores finitos. Entonces, el operador monótono asociado con es monótono máximo y, para todos , es un convexo compacto no vacío de . mi{\ Displaystyle \ mathbb {E}}F{\ Displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×F→R{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to \ mathbb {R}}T{\ Displaystyle T}φ{\ Displaystyle \ varphi}(X,y)∈mi×F{\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F}}T(X,y){\ Displaystyle T (x, y)}mi′×F′{\ Displaystyle \ mathbb {E} '\ times \ mathbb {F}'}

El resultado de máxima monotonicidad a continuación generaliza el anterior al permitir que la función convexo-cóncava tome valores infinitos. Sin embargo esta función debe estar cerrada y los espacios deben ser espacios de Banach (siendo uno reflexivo).

Máxima monotonía II (función con valores infinitos)  -  Sean y dos espacios de Banach de los cuales al menos uno es reflexivo y una función convexa-cóncava cerrada propiamente dicha. Entonces, el operador monótono asociado con es monótono máximo. mi{\ Displaystyle \ mathbb {E}}F{\ Displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×F→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}φ{\ Displaystyle \ varphi}

Si es una función convexo-cóncava propia cerrada, no es necesariamente semicontinua inferior y no es necesariamente semicontinua superior, pero si hacemos estos supuestos de semicontinuidad cualquiera que sea y , entonces es cerrada y podemos aplicar el teorema. φ:mi×F→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}φ(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y)}φ(X,⋅){\ Displaystyle \ varphi (x, \ cdot)}X∈mi{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {E}}y∈F{\ Displaystyle y \ in \ mathbb {F}}φ{\ Displaystyle \ varphi}

Corolario (función sci-scs)  -  Sean y dos espacios de Banach de los cuales al menos uno es reflexivo y una función convexo-cóncava adecuada tal que mi{\ Displaystyle \ mathbb {E}}F{\ Displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×F→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}

• para todos , es semicontinuo a continuación,y∈F{\ Displaystyle y \ in \ mathbb {F}}φ(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y)}
• para todo , es superiormente semicontinuo.X∈mi{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {E}}φ(X,⋅){\ Displaystyle \ varphi (x, \ cdot)}

Entonces, se cierra y el operador monótono asociado es monótono máximo. φ{\ Displaystyle \ varphi}

Se puede particularizar aún más el resultado dado en el corolario anterior en el caso en el que la función convexo-cóncava se obtiene por restricción a un producto de convexos y de una función convexo-cóncava tomando solo valores finitos. φ:mi×F→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}VS⊂mi{\ Displaystyle C \ subconjunto \ mathbb {E}}D⊂F{\ Displaystyle D \ subconjunto \ mathbb {F}}φ0:mi×F→R{\ Displaystyle \ varphi _ {0}: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to \ mathbb {R}}

Corolario (restricción de una función de valores finitos)  -  Sean y dos espacios de Banach de los cuales al menos uno es reflexivo y una función convexo-cóncava propia definida en el par. mi{\ Displaystyle \ mathbb {E}}F{\ Displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×F→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}(X,y)∈mi×F{\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F}}

φ(X,y)={φ0(X,y)SiX∈VS y y∈D+∞SiX∉VS y y∈D-∞Siy∉D,{\ Displaystyle \ varphi (x, y) = \ left \ {{\ begin {array} {lll} \ varphi _ {0} (x, y) & {\ mbox {si}} & x \ in C ~ { \ mbox {et}} ~ y \ in D \\ + \ infty & {\ mbox {si}} & x \ notin C ~ {\ mbox {et}} ~ y \ in D \\ - \ infty & {\ mbox {si}} & y \ notin D, \ end {matriz}} \ right.}

donde y son dos convexos cerrados no vacíos y es una función convexo-cóncava que toma solo valores finitos y tal que, cualquiera que sea , es semicontinua abajo y semicontinua arriba. Entonces, es una función convexa-cóncava adecuada y el operador monótono asociado es monótono máximo. VS⊂mi{\ Displaystyle C \ subconjunto \ mathbb {E}}D⊂F{\ Displaystyle D \ subconjunto \ mathbb {F}}φ0:mi×F→R{\ Displaystyle \ varphi _ {0}: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to \ mathbb {R}}(X,y)∈mi×F{\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F}}φ0(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi _ {0} (\ cdot, y)}φ0(X,⋅){\ Displaystyle \ varphi _ {0} (x, \ cdot)}φ{\ Displaystyle \ varphi}

Apéndices

Notas

1. Sección 34 en Rockafellar (1970a)
2. Teorema 1 en Rockafellar (1970b).
3. Teorema 2 en Rockafellar (1970b).
4. Corolario 1 en Rockafellar (1970b).
5. Teorema 3 en Rockafellar (1970b).
6. Sección 34 en Rockafellar (1970a).

Artículos relacionados

• Función cóncava
• Función convexa

Bibliografía

• (en) RT Rockafellar (1970a). Análisis convexo . Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey.
• (en) RT Rockafellar (1970b). Operador monótono asociado con funciones de sillín y problemas minimax. En FE Browder, editor, Nonlinear Functional Analysis , Parte 1, páginas 397–407. Simposios en matemáticas puras, vol. 18, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI

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