Figuras de brocado
Las figuras de Brocard toman su nombre del matemático francés Henri Brocard (1845-1922).
De hecho, fueron encontrados por Jacobi (1804-1851) y, ya en 1816, por Crelle .
Permiten determinar gráficamente los puntos Brocard .
Puntos Brocard
Los puntos de Brocard del triángulo ABC son los dos puntos interiores P y P ' tales que, para el primero, los ángulos orientados positivamente son iguales y negativamente para el segundo.
PAGAB^,PAGBVS^,PAGVSA^{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ widehat {PAB}}, {\ widehat {PBC}}, {\ widehat {PCA}}}}
Ángulo de Brocard
Los segmentos que unen los puntos de Brocard a los vértices del triángulo constituyen isogones particulares del triángulo ABC.
Su propiedad notable es definir siempre el mismo ángulo ω , llamado ángulo de Brocard del triángulo.
ω=PAGAB^=PAGBVS^=PAGVSA^=PAG′VSB^=PAG′BA^=PAG′AVS^{\ displaystyle \ omega = {\ widehat {PAB}} = {\ widehat {PBC}} = {\ widehat {PCA}} = {\ widehat {P'CB}} = {\ widehat {P'BA}} = {\ widehat {P'AC}}}
Fórmulas para el ángulo de Brocard
Si es el área del triángulo ABC, podemos calcular el ángulo de Brocard usando una de las siguientes fórmulas:
AΔ{\ Displaystyle A _ {\ Delta}}
- broncearseω=4AΔa2+B2+vs2{\ Displaystyle \ tan \ omega = {\ frac {4 \; A _ {\ Delta}} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}
- costoω=costoBAVS^+costoABVS^+costoAVSB^,{\ Displaystyle \ cot \ omega = \ cot {\ widehat {BAC}} + \ cot {\ widehat {ABC}} + \ cot {\ widehat {ACB}},}
- pecadoω=2AΔB2vs2+a2vs2+a2B2{\ Displaystyle \ sin \ omega = {\ frac {2A _ {\ Delta}} {\ sqrt {b ^ {2} c ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + a ^ {2} b ^ {2}}}}}
Para este ángulo tenemos: ω≤30o.{\ Displaystyle \ omega \ leq 30 ^ {o}.}
Ver también
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