Rayo gaussiano

En óptica , un rayo gaussiano es una solución particular de la ecuación de propagación de Helmholtz (como una onda plana ) dentro del marco de la aproximación paraxial . Este modelo produce una mejor descripción de las radiaciones coherentes, como los rayos láser , aunque es incompleto en el tratamiento de la difracción .

Más específicamente, un haz gaussiano es un haz cuya evolución del perfil de amplitud transversal en función de la propagación espacial es proporcional a una función gaussiana , por ejemplo una función Gauss-Hermite .

Definiciones de un rayo gaussiano

Hay varias formas de definir un rayo gaussiano. Históricamente, los rayos gaussianos se han utilizado en óptica como una solución a la ecuación de propagación como parte de la aproximación paraxial . La aproximación paraxial supone una baja divergencia del haz con respecto a su eje de propagación. El ángulo máximo de divergencia generalmente aceptado es del orden de 20 grados.

Otros enfoques provenientes del electromagnetismo permiten obtener una formulación de haces gaussianos. Por tanto, se pueden definir los haces gaussianos monomodo y multimodo como un caso particular en la aproximación paraxial de uno o más puntos fuente complejos .

Otra solución puede consistir en extender el formalismo de los rayos de la óptica geométrica a rayos complejos, es decir a rayos cuya posición, dirección y matriz de curvatura puede ser compleja.

Finalmente, también podemos definir un rayo gaussiano a partir de su representación espectral. Al definir un campo cuya amplitud es gaussiana en un plano, se puede expresar utilizando un espectro de ondas planas de esta distribución de amplitud el campo propagado en cualquier punto.

Propagación del haz gaussiano

La aproximación que se hace aquí es la del rayo gaussiano escalar donde el campo eléctrico se considera polarizado linealmente en una dirección ortogonal a su dirección de propagación. Esta aproximación da buenos resultados cuando el radio de garganta del haz es mucho mayor que la longitud de onda. De lo contrario, debemos utilizar el haz de vector gaussiano descrito por la formulación más complicada de Davis (cf. Biblio.), Donde en particular, el campo eléctrico también tiene un componente de fase desplazada según la dirección de propagación, de ahí el vector calificador. w0{\ Displaystyle w_ {0}}

En el caso de la aproximación escalar, el campo eléctrico complejo de un rayo gaussiano medido (en voltios por metro ) en el centro del rayo y en su origen es: r{\ Displaystyle \, r}z{\ Displaystyle \, z}

mi(r,z)=mi0w0w(z)Exp⁡(-r2w2(z))Exp⁡(-Ikz-Ikr22R(z)+Iζ(z)) ,{\ Displaystyle E (r, z) = E_ {0} {\ frac {w_ {0}} {w (z)}} \ exp \ left ({\ frac {-r ^ {2}} {w ^ { 2} (z)}} \ derecha) \ exp \ izquierda (-ikz-ik {\ frac {r ^ {2}} {2R (z)}} + i \ zeta (z) \ derecha) \,}

Y la distribución de la intensidad media temporal (o radiancia ), medida en vatios por metro cuadrado, es:

I(r,z)=|mi(r,z)|22η=I0(w0w(z))2Exp⁡(-2r2w2(z)) ,{\ Displaystyle I (r, z) = {| E (r, z) | ^ {2} \ over 2 \ eta} = I_ {0} \ left ({\ frac {w_ {0}} {w (z )}} \ right) ^ {2} \ exp \ left ({\ frac {-2r ​​^ {2}} {w ^ {2} (z)}} \ right) \,}

O :

• I2=-1{\ Displaystyle \, i ^ {2} = - 1}, número imaginario
• k=2πλ{\ Displaystyle \, k = {2 \ pi \ over \ lambda}}es el número de ondas (en radianes por metro).
• w(z){\ Displaystyle \, w (z)} es la distancia al centro del eje del haz donde la amplitud del campo eléctrico se multiplica por 1 / e , que corresponde a una multiplicación de la intensidad por (1 / e ) 2 . Este parámetro se llama ancho de haz .
• E 0 e I 0 son respectivamente la amplitud y la intensidad del campo eléctrico en el centro del haz en el origen. Es decir ymi0 =DmiF |mi(0,0)|{\ Displaystyle E_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ | E (0,0) |}I0 =DmiF I(0,0){\ Displaystyle I_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ I (0,0)}
• η{\ Displaystyle \ eta \,}es la característica constante de la impedancia del medio atravesado por la onda. La impedancia de vacío característica ,η=η0≈377 ohmetros{\ Displaystyle \ eta = \ eta _ {0} \ approx 377 \ \ mathrm {ohms}}
• ζ(z){\ Displaystyle \ zeta (z) \,}y se definen a continuaciónR(z){\ Displaystyle R (z) \,}

Parámetros de haz

La geometría y el comportamiento de un haz gaussiano dependen de varios parámetros que se definirán a continuación.

Amplitud de rayo

Para un rayo gaussiano que se propaga en el vacío, el ancho del rayo estará en un valor mínimo de w 0 en su origen. Para una longitud de onda λ y a una distancia z a lo largo del eje del haz, la variación en el ancho del haz será: w(z){\ Displaystyle \, w (z)}

w(z)=w01+(zz0)2 .{\ Displaystyle w (z) = w_ {0} \, {\ sqrt {1 + {\ left ({\ frac {z} {z_ {0}}} \ right)} ^ {2}}} \.}

Donde se define el origen del eje z, sin pérdida de generalidad, como el punto de origen y:

z0=πw02λ{\ Displaystyle z_ {0} = {\ frac {\ pi w_ {0} ^ {2}} {\ lambda}}}

Esto se llama alcance o profundidad de campo de Rayleigh .

Alcance de Rayleigh y parámetro confocal

A una distancia del origen igual a z 0 , el ancho del haz w es:

w(±z0)=w02{\ Displaystyle w (\ pm z_ {0}) = w_ {0} {\ sqrt {2}} \,}

La distancia entre + y - z 0 se denomina parámetro confocal (que es igual al doble de la longitud de Rayleigh ):

B=2z0=2πw02λ .{\ Displaystyle b = 2z_ {0} = {\ frac {2 \ pi w_ {0} ^ {2}} {\ lambda}} \.}

Radio de curvatura

R ( z ) es el radio de curvatura del frente de onda del haz. Su valor es función de la posición tal que:

R(z)=z[1+(z0z)2] .{\ Displaystyle R (z) = z \ left [{1 + {\ left ({\ frac {z_ {0}} {z}} \ right)} ^ {2}} \ right] \.}

Divergencia del haz

El parámetro se aproxima a una línea recta para . El ángulo entre esta línea recta y el eje central del haz se llama divergencia del haz. Está dado por: w(z){\ Displaystyle w (z)}z≫z0{\ Displaystyle z \ gg z_ {0}}

broncearse⁡θ≃λπw0(θ mino raDIanos.){\ Displaystyle \ tan {\ theta} \ simeq {\ frac {\ lambda} {\ pi w_ {0}}} \ qquad (\ theta \ mathrm {\ en \ radianes.})}

Por tanto, el ángulo de apertura de la viga desde su origen es:

Θ=2θ {\ Displaystyle \ Theta = 2 \ theta \}

• Esta propiedad de un rayo gaussiano hace que un rayo láser se ensanche mucho si en su origen tiene un diámetro muy pequeño. Para que permanezca constante en una gran distancia, esta viga debe ser, por tanto, de gran diámetro en su origen.
• Como el modelo gaussiano utiliza una aproximación paraxial, ya no se aplica cuando se mira a un punto donde el frente de onda es más de 30 ° con la dirección de propagación. De la definición de divergencia, esto significa que el modelo gaussiano solo es válido para un haz con un ancho en el origen mayor que 2 λ / π .
• La calidad de una viga se calcula por el producto de su divergencia y su ancho en el origen. Este número obtenido en un haz real se compara con el de un haz gaussiano ideal de la misma longitud de onda. La proporción de estos dos números se llama M² y debería tender a 1 idealmente.

Fase gouy

El retardo longitudinal de la fase de la onda o fase Gouy del haz es:

ζ(z)=arctan⁡(zz0) .{\ Displaystyle \ zeta (z) = \ arctan \ left ({\ frac {z} {z_ {0}}} \ right) \.}

Parámetro de haz complejo

Como el campo eléctrico tiene una parte imaginaria:

q(z)=z+q0=z+Iz0 .{\ Displaystyle q (z) = z + q_ {0} = z + iz_ {0} \.}

Que a menudo calculamos como:

1q(z)=1z+Iz0=zz2+z02-Iz0z2+z02=1R(z)-Iλπw2(z){\ Displaystyle {1 \ over q (z)} = {1 \ over z + iz_ {0}} = {z \ over z ^ {2} + z_ {0} ^ {2}} - i {z_ {0 } \ sobre z ^ {2} + z_ {0} ^ {2}} = {1 \ sobre R (z)} - i {\ lambda \ sobre \ pi w ^ {2} (z)}}

El complejo Z resultante juega un papel crucial en el análisis de las propiedades del haz de Gauss, especialmente en el de las cavidades resonantes y las matrices de transferencia de radiación.

Poder e intensidad

Poder a través de una abertura

La potencia P (en vatios ) que pasa por un disco de radio r en un plano transversal a la propagación y a una distancia z es:

PAG(r,z)=PAG0[1-mi-2r2/w2(z)]{\ Displaystyle P (r, z) = P_ {0} \ left [1-e ^ {- 2r ^ {2} / w ^ {2} (z)} \ right]}donde es la potencia total transmitida por el haz.PAG0=12πI0w02{\ Displaystyle P_ {0} = {1 \ over 2} \ pi I_ {0} w_ {0} ^ {2}}

Encontramos eso:

• Para un disco de radio , la fracción de la potencia transmitida es:r=w(z){\ Displaystyle r = w (z)}

PAG(z)PAG0=1-mi-2≈0,865{\ Displaystyle {P (z) \ over P_ {0}} = 1-e ^ {- 2} \ approx 0 {,} 865}.

• Aproximadamente el 95% de la potencia del rayo pasará por un agujero que tiene .r=1.224⋅w(z){\ Displaystyle r = 1 {,} 224 \ cdot w (z)}

Intensidad media y máxima

La intensidad máxima en el eje del haz en el origen se calcula utilizando la regla de L'Hôpital para la integración de la potencia incluida en el círculo de radio dividida por el área subtendida por  : z{\ Displaystyle \, z}r{\ Displaystyle \, r}πr2{\ Displaystyle \, \ pi r ^ {2}}

I(0,z)=limr→0PAG0[1-mi-2r2/w2(z)]πr2=PAG0πlimr→0[-(-2)(2r)mi-2r2/w2(z)]w2(z)(2r)=2PAG0πw2(z).{\ Displaystyle I (0, z) = \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {P_ {0} \ left [1-e ^ {- 2r ^ {2} / w ^ {2} (z) " } \ right]} {\ pi r ^ {2}}} = {\ frac {P_ {0}} {\ pi}} \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {\ left [- (- 2 ) (2r) e ^ {- 2r ^ {2} / w ^ {2} (z)} \ right]} {w ^ {2} (z) (2r)}} = {2P_ {0} \ over \ pi w ^ {2} (z)}.}

La intensidad máxima (en el eje del haz) es, por tanto, el doble de la intensidad media (en todo el haz) obtenida dividiendo la potencia total entre . πw2(z){\ Displaystyle \ pi w ^ {2} (z)}

Ilustraciones Vectoriales

• Imagen instantánea de una onda gaussiana simulada

• Punto de un rayo láser

Notas y referencias

1. (in) G. Deschamps, "A. Los rayos gaussianos tienen un complejo haz de rayos" Electronics Lett. , Vuelo. 7, 1971, pág.  684-685 .
2. (en) G. Deschamps, "Técnicas de rayos en electromagnetismo", Proc. del IEEE , vol. 60, 1972, pág.  1022-1035 .
3. (en) DH Martin y JW Bowen, "Óptica de onda larga", IEEE Trans. Propagat de antena. , Vuelo. 41, 1993, pág.  1676-1690 .
4. Siegman , 1986 , p.  630.

Ver también

Bibliografía

• (en) Bahaa EA Saleh y Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics , 1991, John Wiley & Sons, Nueva York ( ISBN  0-471-83965-5 ) , cap. 3 (“Óptica del haz”), pág.  80-107 para la aproximación escalar y el cap. 5 (“Óptica electromagnética”), pág.  173 para el haz de vector gaussiano
• (en) Anthony E. Siegman , Láseres , Libros de ciencia universitaria,1986( ISBN  0-935702-11-3 ) , cap.  6
• (en) Amon Yariv, Quantum Electronics , 3 e ed., Wiley, 1989 ( ISBN  0-471-60997-8 )
• (en) LW Davis, “Teoría de los haces electromagnéticos”, Phys. Rvdo. , Vuelo. 19, 1979, pág.  1177-1179

Artículos relacionados

• Onda electromagnética
• Polinomio ermitaño
• Paquete de ondas gaussianas
• Ecuación de Helmholtz

Enlace externo

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