Pliegue

En matemáticas , el retorcimiento es una característica de una curva cerrada sin un doble punto en el espacio . También podemos usar el término giro. Como sugiere el nombre, este número describe cuán retorcida es la curva, es decir, el grado de complejidad de su trayectoria en el espacio. R3{\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {3}}

Formula general

El giro de una curva de longitud y cuyos puntos están indicados por , con una variación de 0 a y se obtiene mediante la fórmula L{\ Displaystyle L}r(s){\ Displaystyle \ mathbf {r} (s)}s{\ Displaystyle s}L{\ Displaystyle L}r(0)=r(L){\ Displaystyle \ mathbf {r} (0) = \ mathbf {r} (L)}

minot=14π∫0LDsDrDs(s)⋅∫0LDs′DrDs(s′)×r(s′)-r(s)‖r(s′)-r(s)‖3.(1){\ Displaystyle \ mathrm {Ent} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {0} ^ {L} \ mathrm {d} s \; {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} s}} (s) \ cdot \ int _ {0} ^ {L} \ mathrm {d} s '\; {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r }} {\ mathrm {d} s}} (s ') \ times {\ frac {\ mathbf {r} (s') - \ mathbf {r} (s)} {\ | \ mathbf {r} (s ') - \ mathbf {r} (s) \ | ^ {3}}}. \ qquad (1)}

Caso de una curva aplanada

La torcedura describe la deformación de la curva con respecto al círculo o nodo obtenido al aplanar la curva. Por lo tanto, un círculo plano tiene un giro cero. Una curva plana está representada por un diagrama de ataduras , donde en cada cruce la hebra que pasa por debajo se corta justo alrededor de la hebra que pasa sobre ella para recordar las posiciones relativas, como en el dibujo a continuación. Elegimos arbitrariamente una orientación, es decir una dirección de desplazamiento del diagrama obtenido (esta elección no modifica los resultados). De esta orientación obtenemos la torcedura de una curva aplanada, que es un número entero, usando su diagrama. El giro se calcula sumando, para cada cruce, o según la regla +1{\ displaystyle +1}-1{\ displaystyle -1}

+1{\ displaystyle +1}		-1{\ displaystyle -1}

El resultado es independiente de la orientación elegida para la curva. Este es el resultado que obtenemos al calcular la fórmula (1) cuando la curva se aplana.

Otra fórmula

La definición de la torsión de un enlace permite expresar una fórmula equivalente a la fórmula (1). Denotamos un vector unitario de y proyectamos la curva paralela a esta dirección en un plano. A continuación, se calcula el giro direccional procediendo como en el párrafo anterior con el diagrama obtenido. El giro de la curva tridimensional es el promedio a lo largo de todas las direcciones del espacio del giro direccional. tu^{\ Displaystyle {\ hat {u}}}R3{\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {3}}minot(tu^){\ Displaystyle \ mathrm {ent} ({\ hat {u}})}

minot=14π∫S2minot(tu^)Dtu^(2){\ Displaystyle \ mathrm {Ent} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {S} ^ {2}} \ mathrm {ent} ({\ hat {u}}) \ , \ mathrm {d} {\ hat {u}} \ qquad (2)}

Vínculo con la teoría del nudo

Este número es invariante por dos de los tres movimientos de Reidemeister , utilizados en la teoría de nudos  : hablamos de la torsión de un diagrama de nudos . El diagrama de nudo de trébol (derecha) a continuación tiene un giro de +3:

La torsión de una cinta , sumada a su torsión , es un número entero llamado entrelazado .

Referencias

1. FB Fuller, Proc. Nat. Acad. Sci. EE.UU. 68 815-819 (1971)