Cálculo estocástico

El cálculo estocástico es el estudio de fenómenos aleatorios dependientes del tiempo. Como tal, es una extensión de la teoría de la probabilidad . No confundir con la técnica de las calculadoras estocásticas .

Aplicaciones

El alcance del cálculo estocástico incluye la mecánica cuántica , el procesamiento de señales , la química , las matemáticas financieras , la meteorología e incluso la música .

Procesos aleatorios

Un proceso aleatorio es una familia de variables aleatorias indexadas por un subconjunto de tiempo o , a menudo asimiladas al tiempo (ver también Proceso estocástico ). Es una función de dos variables: el tiempo y el estado del universo . El conjunto de estados del universo se anota tradicionalmente . La aplicación que a un asociado fijo , variable, se llama trayectoria del proceso; es una función simple del tiempo (sin aleatoriedad) que representa la realización particular del proceso bajo la ocurrencia . X{\ Displaystyle X}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}NO{\ Displaystyle \ mathbb {N}} ω{\ Displaystyle \ omega}Ω{\ Displaystyle \ Omega}ω{\ Displaystyle \ omega}X(ω,t){\ Displaystyle X (\ omega, t)}t{\ Displaystyle t}ω{\ Displaystyle \ omega}

Para un dado, es una variable aleatoria simple cuyo valor exacto solo se conoce en t. El movimiento browniano es un ejemplo particularmente simple de proceso aleatorio indexado . Puede definirse como el proceso incremental gaussiano único, de modo que la covarianza entre y cualquiera . También podemos verlo como el límite de una caminata aleatoria cuando el paso de tiempo tiende hacia 0. t{\ Displaystyle t}X(ω,t){\ Displaystyle X (\ omega, t)}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}Wt{\ Displaystyle W_ {t}}Wt{\ Displaystyle W_ {t}}Ws{\ Displaystyle W_ {s}}min(t,s){\ Displaystyle \ min (t, s)}

Filtración

Una filtración , es una familia de sub- tribus anidadas de , que se puede interpretar como la información disponible que evoluciona con el tiempo. Así, una filtración es una familia de sigma-álgebras, indexadas por tiempo como si , que refleja el aumento de la información disponible. Ft{\ Displaystyle F_ {t}}t∈NO{\ Displaystyle t \ in \ mathbb {N}}Ω{\ Displaystyle \ Omega}t≥0{\ Displaystyle t \ geq 0}Fs⊂Ft{\ Displaystyle F_ {s} \ subconjunto F_ {t}}s≤t{\ Displaystyle s \ leq t}

Expectativa condicional según filtración

Proceso de itō

El proceso Itō, que lleva el nombre de su inventor Kiyoshi Itō , se ocupa de las operaciones matemáticas en un proceso estocástico. La más importante es la integral estocástica de Itō.

Itô es integral

Antes del cálculo, indiquemos que:

• letras mayúsculas como variables aleatorias;X{\ Displaystyle X}
• las letras mayúsculas con un índice de uno (por ejemplo ) denotan un proceso estocástico que es una familia de variables aleatorias indexadas por  ;t{\ Displaystyle t}Bt{\ Displaystyle B_ {t}}t{\ Displaystyle t}
• una pequeña izquierda de un proceso (por ejemplo ) significa un cambio infinitesimal en el proceso aleatorio que es una variable aleatoria.D{\ Displaystyle \ mathrm {d}}DBt{\ Displaystyle \ mathrm {d} B_ {t}}

La integral estocástica de un proceso con respecto a un proceso se describe mediante la integral: Xt{\ Displaystyle X_ {t}}Bt{\ Displaystyle B_ {t}}

∫aBXtDBt{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} X_ {t} \, \ mathrm {d} B_ {t}}

y se define como el límite cuadrático medio de las sumas correspondientes de la forma:

∑XtI(BtI+1-BtI).{\ Displaystyle \ sum X_ {t_ {i}} (B_ {t_ {i + 1}} - B_ {t_ {i}}).}

Un punto esencial relacionado con esta integral es el lema de Itô .

La suma como producto de variables aleatorias se define en la teoría de la probabilidad. La suma implica una convolución de la función de densidad de probabilidad y la multiplicación es una suma repetida.

Definición de un proceso Itô

Una vez que se ha especificado la definición elegida para una integral estocástica, definimos un proceso Itô como un proceso estocástico de la forma: Xt{\ Displaystyle X_ {t}}

Xt(ω)=X0(ω)+∫0ttus(ω)Ds+∫0t(vsDBs)(ω){\ Displaystyle X_ {t} (\ omega) = X_ {0} (\ omega) + \ int _ {0} ^ {t} u_ {s} (\ omega) {\ rm {d}} s + \ int _ {0} ^ {t} (v_ {s} {\ rm {d}} B_ {s}) (\ omega)}

con y dos funciones aleatorias que satisfacen algunos supuestos técnicos de adaptación al proceso y es una realización en el espacio de probabilidad subyacente. tu{\ Displaystyle u}v{\ Displaystyle v}Bt{\ Displaystyle B_ {t}}ω{\ Displaystyle \ omega}

En el formalismo del cálculo diferencial con la prescripción Itô notamos de manera equivalente la relación anterior como:

DXt=tutDt+vtDBt{\ Displaystyle {\ rm {d}} X_ {t} = u_ {t} \, {\ rm {d}} t + v_ {t} \, {\ rm {d}} B_ {t}}

Receta de Stratonovich

Otra receta notable para definir una integral estocástica es la receta de Stratonovich. La integral de Stratonovich se define como el límite de sumas discretas:

∑XtI+tI+12(BtI+1-BtI).{\ Displaystyle \ sum X _ {\ frac {t_ {i} + t_ {i + 1}} {2}} (B_ {t_ {i + 1}} - B_ {t_ {i}}).}

La diferencia notable con la prescripción Itô es que la cantidad no es independiente en el sentido de las probabilidades de la variable . Así, a diferencia de la prescripción de Itô, en la prescripción de Stratonovich tenemos: X(tI+tI+1)/2{\ Displaystyle X _ {(t_ {i} + t_ {i + 1}) / 2}}BtI+1-BtI{\ Displaystyle B_ {t_ {i + 1}} - B_ {t_ {i}}}

mi[∫aBXtDBt]≠0{\ Displaystyle E \ left [\ int _ {a} ^ {b} X_ {t} \, \ mathrm {d} B_ {t} \ right] \ neq 0}

lo que complica, desde este punto de vista, ciertos cálculos. Sin embargo, el uso de la prescripción de Stratonovich no elige una dirección del tiempo privilegiada a diferencia de la de Itô, lo que implica que los procesos estocásticos definidos por la integral de Stratonovich satisfacen ecuaciones diferenciales estocásticas bidimensionales invariantes por la inversión del tiempo. Por esta razón, esta prescripción se usa a menudo en física estadística .

Sin embargo, debe tenerse en cuenta que es posible pasar de una prescripción a otra haciendo cambios en variables simples, lo que las hace equivalentes. Por tanto, la elección de la prescripción es una cuestión de conveniencia.

Procesos habituales

Martingalas exponenciales

Integral de salchicha

Denote el movimiento browniano (MB) por y la integral de Wiener por . {Bt}t∈T{\ Displaystyle \ {B_ {t} \} _ {t \ in T}}∫aB(.)DB{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} (.) \ mathrm {d} B}

Decimos que una función es una función de escalera (por lo tanto densa en ) en si hay una subdivisión de y si existe tal que: h:[a,B]→R{\ Displaystyle h: [a, b] \ to \ mathbb {R}}L2([a,B]){\ Displaystyle L ^ {2} ([a, b])}σ{\ Displaystyle \ sigma}[a,B]{\ Displaystyle [a, b]}α0,...,αNOσ-1∈R{\ Displaystyle \ alpha _ {0}, ..., \ alpha _ {N _ {\ sigma} -1} \ in \ mathbb {R}}

h=∑k=0NOσ-1αk1[tkσ,tk+1σ[{\ Displaystyle h = \ sum _ {k = 0} ^ {N _ {\ sigma} -1} \ alpha _ {k} 1 _ {[t_ {k} ^ {\ sigma}, t_ {k + 1} ^ {\ sigma} [}}

Entonces, preguntamos:

∫aBh(s)DB(s)=∑k=0NOσ-1αk{B(tk+1σ)-B(tkσ)}{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} h (s) \ mathrm {d} B (s) = \ sum _ {k = 0} ^ {N _ {\ sigma} -1} \ alpha _ { k} \ {B (t_ {k + 1} ^ {\ sigma}) - B (t_ {k} ^ {\ sigma}) \}}

Está claro que es una variable aleatoria de varianza centrada en Gauss . ∫aBh(s)DB(s){\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} h (s) \ mathrm {d} B (s)}∫aB|h(s)|2Ds{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | h (s) | ^ {2} \ mathrm {d} s}

Además, cualquiera y una serie de funciones de escalera . Entonces, la secuencia converge a un límite en . Además, este límite no depende de la secuencia y se denota por . gramo∈L2([a,B]){\ Displaystyle g \ in L ^ {2} ([a, b])}Hno{\ Displaystyle H_ {n}}gramo∈L2([a,B]){\ Displaystyle g \ in L ^ {2} ([a, b])}(∫aBHno(s)DB(s))no∈NO{\ Displaystyle \ left (\ int _ {a} ^ {b} H_ {n} (s) \ mathrm {d} B (s) \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}L2(Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}(Hno)no∈NO{\ Displaystyle (H_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}∫aBgramo(s)DB(s){\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (s) \ mathrm {d} B (s)}

Sea el movimiento browniano estándar definido en el espacio probabilizado y un proceso adaptado a . También se asume que verifica: Z{\ Displaystyle Z}(Ω,A,F,PAG){\ Displaystyle (\ Omega, A, F, P)}σ{\ Displaystyle \ sigma}F{\ Displaystyle F}σ{\ Displaystyle \ sigma}

mi(∫0Tσs2Ds)<+∞{\ Displaystyle E \ left (\ int _ {0} ^ {T} \ sigma _ {s} ^ {2} \ mathrm {d} s \ right) <+ \ infty}.

Entonces, la integral estocástica de con respecto a es la variable aleatoria: σ{\ Displaystyle \ sigma}Z{\ Displaystyle Z}

(∫0TσsDZs)=limNO→+∞∑no=1NOσtno-1(Ztno-Ztno-1){\ Displaystyle \ left (\ int _ {0} ^ {T} \ sigma _ {s} \ mathrm {d} Z_ {s} \ right) = \ lim _ {N \ to + \ infty} \ sum _ { n = 1} ^ {N} \ sigma _ {t_ {n-1}} \ left (Z_ {t_ {n}} - Z_ {t_ {n-1}} \ right)}.

Lema de Itô

Sea un proceso estocástico tal que tengamos dónde está un proceso estándar de Wiener. X{\ Displaystyle x}DX=aDt+BDz{\ Displaystyle \ mathrm {d} x = a \ mathrm {d} t + b \ mathrm {d} z}z{\ Displaystyle z}

Entonces, de acuerdo con el lema de Itô , tenemos una funciónGRAMO=GRAMO(X,t){\ Displaystyle G = G (x, t)}

DGRAMO=∂GRAMO∂tDt+∂GRAMO∂XDX+12B2∂2GRAMO∂X2Dt{\ Displaystyle \ mathrm {d} G = {\ frac {\ mathrm {\ parcial} {G}} {\ mathrm {\ parcial} {t}}} \ mathrm {d} t + {\ frac {\ mathrm { \ parcial} {G}} {\ mathrm {\ parcial} {x}}} \ mathrm {d} x + {\ frac {1} {2}} b ^ {2} {\ frac {\ mathrm {\ parcial } ^ {2} {G}} {\ mathrm {\ partial} {x ^ {2}}}} \ mathrm {d} t}

Una ecuación diferencial estocástica (DHS) son los datos de una ecuación del tipo , donde es un proceso aleatorio desconocido, que comúnmente se llama ecuación de difusión. Integrar el EDS significa encontrar todos los procesos verificando toda la distribución. DX=μ(X,t)Dt+σ(X,t)DWt{\ Displaystyle \ mathrm {d} X = \ mu (X, t) \ mathrm {d} t + \ sigma (X, t) \ mathrm {d} W_ {t}}X{\ Displaystyle X}

Proceso de Ornstein-Uhlenbeck

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso estocástico que describe (entre otras cosas) la velocidad de una partícula en un fluido, en la dimensión 1.

Se define como la solución de la siguiente ecuación diferencial estocástica: Xt{\ Displaystyle X_ {t}}

DXt=2DBt-XtDt{\ Displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = {\ sqrt {2}} \ mathrm {d} B_ {t} -X_ {t} \ mathrm {d} t},

donde es un movimiento browniano estándar y con una variable aleatoria dada. Bt{\ Displaystyle B_ {t}}X0{\ Displaystyle X_ {0}}

El término refleja los muchos choques aleatorios que sufre la partícula, mientras que el término representa la fuerza de fricción que sufre la partícula. DBt{\ Displaystyle \ mathrm {d} B_ {t}}-XtDt{\ Displaystyle -X_ {t} \ mathrm {d} t}

La fórmula de Itô aplicada al proceso nos da: mitXt{\ Displaystyle {e ^ {t}} X_ {t}}

D(mitXt)=mitXtDt+mit(2DBt-XtDt)=mit2DBt{\ Displaystyle \ mathrm {d} ({e ^ {t}} X_ {t}) = {e ^ {t}} {X_ {t}} \ mathrm {d} t + {e ^ {t}} ( {\ sqrt {2}} {\ mathrm {d} B_ {t}} - {X_ {t}} \ mathrm {d} t) = {e ^ {t}} {\ sqrt {2}} {\ mathrm {d} B_ {t}}},

bien, en forma integral:

Xt=X0mi-t+2mi-t∫0tmisDBs{\ Displaystyle X_ {t} = {X_ {0}} e ^ {- t} + {\ sqrt {2}} e ^ {- t} \ int _ {0} ^ {t} {e ^ {s} } \ mathrm {d} B_ {s}}

Por ejemplo, si es casi seguro que es igual , la ley de es una ley gaussiana de media y varianza , que converge en la ley a medida que tiende al infinito hacia la ley gaussiana centrada reducida. X0{\ Displaystyle X_ {0}} X{\ Displaystyle x}Xt{\ Displaystyle X_ {t}}Xmi-t{\ Displaystyle xe ^ {- t}}1-mi-2t{\ Displaystyle 1-e ^ {- 2t}}t{\ Displaystyle t}

Problemas de control óptimo

Métodos de simulación

Método de Montecarlo

Los métodos de Monte Carlo basados ​​en la ley de los grandes números . Al repetir un experimento un gran número de veces, de manera (teóricamente) independiente, se obtiene una aproximación cada vez más confiable del valor real de la expectativa del fenómeno observado.

Estos métodos se utilizan en particular en finanzas para la valoración de opciones para las que no existe una fórmula cerrada, sino solo aproximaciones numéricas.

Simulación usando árboles recombinantes

Notas y referencias

Ver también

Bibliografía

• Nathalie Bartoli y Pierre Del Moral, Simulación y algoritmos estocásticos , Cépaduès, 2001 ( ISBN  2-85428-560-3 ) .
• Mario Lefebvre, Procesos estocásticos aplicados , Hermann, 2006 ( ISBN  2-7056-6561-7 ) .
• Francis Comets y Thierry Meyre, Cálculo estocástico y modelos de difusión , Dunod, 2006 ( ISBN  2-10-050135-6 ) .
• Bassel Solaiman, Procesos estocásticos para ingenieros , Prensas Polytechniques et Universitaires Romandes, 2006 ( ISBN  2-88074-668-X ) .

Artículos relacionados

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