Axiomas de Tarski

Los Axiomas Tarski , debido a Alfred Tarski , son un sistema de axiomas para la geometría euclidiana expresados en lógica de primer orden. Los predicados usados en el lenguaje son:

el punto y está entre los puntos xyz: (entre deux o en inglés betweenness); ${\ displaystyle Bxyz}$
la distancia de xay es igual a la distancia de z a u: (congruencia). ${\ Displaystyle xy \ equiv zu}$

Axiomas

A1: reflexividad

${\ Displaystyle xy \ equiv yx.}$

A2: Transitividad

${\ Displaystyle (xy \ equiv zu \ land xy \ equiv vw) \ rightarrow zu \ equiv vw.}$

A3: segmento nulo

${\ Displaystyle xy \ equiv zz \ rightarrow x = y.}$

A4: transferencia de segmento

${\ Displaystyle \ existe z \, [Bxyz \ land yz \ equiv ab].}$

A5: cinco segmentos

${\ Displaystyle {(x \ neq y \ land Bxyz \ land Bx'y'z '\ land xy \ equiv x'y' \ land yz \ equiv y'z '\ land xu \ equiv x'u' \ land yu \ equiv y'u ')} \ rightarrow zu \ equiv z'u'.}$

A6: Identidad

${\ displaystyle Bxyx \ rightarrow x = y.}$

A7: Axioma de Pasch

${\ displaystyle (Bxuz \ land Byvz) \ rightarrow \ existe un \, (Buay \ land Bvax).}$

A8: dimensión más pequeña

${\ Displaystyle \ existe a \, \ existe b \, \ existe c \, [\ neg Babc \ land \ neg Bbca \ land \ neg Bcab].}$

Hay tres puntos no colineales, por lo que no existe un modelo de la teoría de la dimensión <2.

A9: dimensión más grande

${\ Displaystyle (xu \ equiv xv \ land yu \ equiv yv \ land zu \ equiv zv \ land u \ neq v) \ rightarrow (Bxyz \ lor Byzx \ lor Bzxy).}$

No hay modelo de dimensión> 2.

A10: Axioma de Euclides

${\ Displaystyle (Bxuv \ land Byuz \ land x \ neq u) \ rightarrow \ existe a \, \ existe b \, (Bxya \ land Bxzb \ land Bavb).}$

Hay otras formulaciones equivalentes al quinto postulado de Euclides . Por ejemplo :

${\ displaystyle ((Bxyw \ land xy \ equiv yw) \ land (Bxuv \ land xu \ equiv uv) \ land (Byuz \ land yu \ equiv zu)) \ rightarrow yz \ equiv vw.}$
${\ Displaystyle Bxyz \ lor Byzx \ lor Bzxy \ lor \ existe un \, (xa \ equiv ya \ land xa \ equiv za).}$

A11: diagrama de axioma de continuidad

${\ Displaystyle \ existe un \, \ para todos los x \, \ para todos y \, [(\ phi (x) \ land \ psi (y)) \ rightarrow Baxy] \ rightarrow \ existe b \, \ para todos los x \, \ para todos y \, [(\ phi (x) \ land \ psi (y)) \ rightarrow Bxby}$

donde φ y ψ son fórmulas de primer orden que no contienen ni a ni b, φ no contienen y y ψ no contienen x.

En lugar de este axioma A11, se puede introducir un axioma de intersección de círculo recto doble:

${\ displaystyle (Buvp \ land u \ neq v \ land Bapb \ land b \ neq p) \ rightarrow \ exist y \, \ existe z \, (ay \ equiv ab \ land az \ equiv ab \ land Bypz \ land Bupz ).}$

Comentarios

1. Axiomas de congruencia.

Solo el axioma A5 trata de la congruencia de figuras planas. La ausencia de un axioma equivalente al axioma de transferencia del ángulo de Hilbert dificulta la construcción del punto medio de un segmento. Toma los siguientes pasos:

- Se define así la ortogonalidad: tres puntos a, byc forman un ángulo recto del vértice a, si, siendo c 'la simetría de c con respecto a a, bc y bc' son congruentes.

- La construcción de la mitad de un segmento se realiza primero para un segmento que tiene un punto equidistante de sus extremos.

- El axioma de la intersección de doble círculo recto permite la fácil construcción de la perpendicular rebajada por un punto en una línea. Sin embargo, la construcción de Gupta permite prescindir de este axioma, a costa de un desarrollo mucho más laborioso.

- La definición de simetría respecto a una recta, conservando la isometría la relación de interposición.

- La construcción de la perpendicular a una línea elevada por un punto en esta línea.

- Este último finalmente permite la construcción de la mitad de cualquier segmento, sin el axioma de Euclides.

2. Axioma de Pasch.

El axioma A7 es más restrictivo y menos restrictivo que el axioma de Pasch en el sistema de Hilbert , que establece: Sean tres puntos xyz no colineales yu sea un punto del segmento zx distinto de zy x. Si una línea d interseca el segmento xz en u, también interseca el segmento xy o el segmento yz

El axioma A7 es menos restrictivo en el sentido de que no excluye la colinealidad de los puntos x, yyz, ni requiere que los puntos uyv sean distintos de los puntos anteriores. Además, es en estos casos particulares donde se pueden demostrar los otros axiomas del orden de Hilbert.

El axioma A7 (axioma interno de Pasch) es más restrictivo en la medida en que solo cubre el caso donde la línea d interseca la línea xy en un punto w tal que y está entre xy w. En el caso de que x esté entre wey (axioma de Pasch exterior), la demostración toma prestados los siguientes pasos:

- Se dice que una línea D está entre dos puntos xyz que no pertenecen a esta línea d si existe un punto u que está en la línea D y que está entre xy z.

- Lema: si una línea D está entre dos puntos xyz, y r es un punto de D, entonces la línea D está entre x y cualquier punto y distinto de r y perteneciente a la media línea original r y pasando por z .

- El axioma de Pasch "interior" y el lema nos permiten demostrar el axioma de Pasch "exterior".

En el caso de que la línea d no se cruce con la línea xy, la demostración requiere el axioma de Euclides según Hilbert, que no forma parte de los axiomas de Tarski.

3. Axioma de Euclides.

El axioma A10 es diferente del axioma de Euclides según Hilbert , quien afirma: Si xy es paralelo a la línea d que pasa por z, y si u es un punto entre xy z, la línea yu corta a la línea d. (en otras palabras, solo hay un paralelo ad que pasa por y) La demostración del axioma de Euclides según Hilbert toma los siguientes pasos:

- Definición de dos puntos ubicados en el mismo lado de una línea: dos puntos ayb están en el mismo lado de la línea D si existe un punto c tal que D está entre ayc, y entre by c.

- Si la línea D está entre los puntos ayb, entonces ayb no están del mismo lado de la línea D.

- La relación binaria “estar en el mismo lado de una línea” es reflexiva, simétrica y transitiva.

- Si la línea B es paralela a la línea A, dos puntos cualesquiera de B están en el mismo lado de A.

- Si dos líneas distintas A y B que pasan por un punto común a fueran paralelas a una línea C, cualquier punto de A y cualquier punto de B estaría en el mismo lado de C. Sin embargo, el axioma A10 permitiría asociar con cualquier punto de C un punto x de A y un punto y de B, tal que la línea C está entre xey, por lo tanto contradicción

Resultados de metamatemáticas

La axiomatización es coherente , completa y decidible (ver “ Teorema de Tarski-Seidenberg (en) ”).

Ver también

Bibliografía

(en) Michael Beeson, Una versión constructiva de la geometría de Tarski, Anales de lógica pura y aplicada , vol. 166,noviembre 2015, cap. Número 11, pág. 1199-1273
(en) Michael Beeson, Una geometría constructiva y el postulante paralelo, Boletín de lógica simbólica , vol. 22,marzo de 2016, cap. Número 1
(de) W. Schwabhäuser, Wanda Zwielew y Alfred Tarski, Metamathematishe Methoden in der Geometrie, Springer-Verlag 1983, reimpreso en 2012 por ISHI Press.