Álgebra de von Neumann

Un álgebra de von Neumann (nombrada en honor a John von Neumann ) o W * -álgebra es un * -álgebra de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert , cerrado para la topología débil , y que contiene el operador de identidad (definición "concreta").

Las álgebras de Von Neumann son C * -álgebras . Sorprendentemente, el teorema de los bicommutantes de von Neumann muestra que admiten una definición puramente algebraica equivalente a la definición topológica. Sakai da una tercera caracterización de un álgebra de von Neumann, invocando la noción de predual. Von Neumann y otros han estudiado las W * -álgebras como una estructura matemática asociada con el concepto de álgebra observable en la mecánica cuántica .

Ejemplos de

Aquí hay dos ejemplos básicos de álgebras de von Neumann:

El anillo $L \infty ( X )$ de funciones medibles esencialmente acotadas sobre un espacio medido es un álgebra de von Neumann conmutativa, cuyos elementos actúan por multiplicación de puntos en el espacio de Hilbert $L$ $2$ $($ $X$ $)$ de funciones cuadradas medibles integrables . $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
El álgebra $B ( H )$ de operadores acotados en un espacio de Hilbert $H$ es un álgebra de von Neumann, no conmutativa si el espacio de Hilbert es de dimensión mayor o igual a $2$ .

Factores

El centro de un álgebra A de von Neumann es igual a la intersección de A con su conmutador A ' :

{\ Displaystyle Z (A) = A \ cap A '.}

Un álgebra de von Neumann es un factor si su centro se reduce a homotecia .

Consulte la sección correspondiente del artículo en inglés (en) .

Aplicaciones

Las álgebras de Von Neumann han encontrado aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas como la teoría de nudos , la física estadística , la teoría cuántica de campos , la teoría de la probabilidad libre , la geometría no conmutativa o la teoría de la representación .

Ver también

Artículo relacionado

Teoría Tomita-Takesaki (en)

Bibliografía

(en) Ola Bratteli (de) y Derek W. Robinson (de) , Operator Algebras and Quantum Statistic Mechanics , Springer, I y II
Jacques Dixmier , Álgebras de operadores en el espacio Hilbertiano (álgebras de von Neumann) , Gauthier-Villars ,1957, Junco. J. Gabay, 1996 ( ISBN 978-2-87647-012-5 ) , publicado en inglés con el título Von Neumann Algebras
(en) Masamichi Takesaki , Teoría de las álgebras del operador , Springer, I , II y III

enlaces externos

(en) Jacob Lurie, “ von Neumann Algebras (261y) ” , en la Universidad de Harvard
(en) VS Sunder (en) , “ Álgebras de Von Neumann: introducción, teoría modular y teoría de la clasificación ” , en el Instituto de Ciencias Matemáticas de Chennai