Abscisa curvilínea

En matemáticas , y más precisamente en geometría diferencial , la abscisa curvilínea es una especie de variante algebraica de la longitud de un arco . Nos damos un origen a partir del cual calculamos las longitudes, proporcionándoles un signo para que se ubiquen de forma bien determinada en la curva: a esa distancia antes o después del punto inicial. La abscisa curvilínea es, por tanto, el análogo, en una curva, de la abscisa en una línea orientada.

Para arcos regulares, la abscisa curvilínea permite volver a parametrizar la curva para estar libre de consideraciones sobre la velocidad de desplazamiento. Esta es la primera operación que permite definir conceptos adjuntos a la curva, independientemente de la parametrización elegida.

Elemento de longitud

Consideramos un arco de clase VS1{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}parametrizado dado por la función:

OMETRO→=F→(t){\ Displaystyle \ mathrm {\ overrightarrow {OM}} = {\ vec {f}} (t)}

para t variar en un segmento . El vector de desplazamiento infinitesimal es: [a,B]{\ Displaystyle [a, b]}

DOMETRO→=DF→DtDt{\ Displaystyle \ mathrm {d \, {\ overrightarrow {OM}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {f}}} {\ mathrm {d} t}} \, \ mathrm {d } t}.

Tenga en cuenta su norma  : Ds{\ Displaystyle \ mathrm {d} s}

Ds=‖DF→Dt‖Dt{\ Displaystyle \ mathrm {d} s = \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {f}}} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \, \ mathrm {d } t}.

Es la longitud elemental recorrida durante el intervalo de tiempo ( > 0 ), o elemento de longitud . La longitud del arco se obtiene sumando estas longitudes elementales: Dt{\ Displaystyle \ mathrm {d} t}

L=∫Ds=∫aB‖DF→Dt‖Dt{\ Displaystyle L = \ int \ mathrm {d} s = \ int _ {a} ^ {b} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {f}}} {\ mathrm {d } t}} \ right \ | \, \ mathrm {d} t}.

En el plan

Nos ubicamos para este cálculo en el plano euclidiano , referido a un sistema de coordenadas ortonormal  : (mi→X,mi→y){\ Displaystyle ({\ vec {e}} _ {x}, {\ vec {e}} _ {y})}

F→(t)=X(t)mi→X+y(t)mi→y{\ Displaystyle {\ vec {f}} (t) = x (t) \, {\ vec {e}} _ {x} + y (t) \, {\ vec {e}} _ {y}}

Entonces :

DF→Dt=DXDtmi→X+DyDtmi→y{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {f}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \, {\ vec {e}} _ {x} + {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \, {\ vec {e}} _ {y}},

de donde :

‖DF→Dt‖2=(DXDt)2+(DyDt)2{\ Displaystyle \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {f}}} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | ^ {2} = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {\! 2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ right ) ^ {\! 2}},

fórmula que se puede resumir expresando el cuadrado de la longitud infinitesimal en la forma:

• Ds2=DX2+Dy2{\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2}}.

En coordenadas polares ), la fórmula anterior se convierte en: (r,θ{\ Displaystyle (r, \ theta}

• Ds2=Dr2+r2Dθ2{\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ theta ^ {2}}.

En el espacio

De la misma forma:

• Ds2=DX2+Dy2+Dz2{\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ {2}}en coordenadas cartesianas  ;(X,y,z){\ Displaystyle (x, y, z)}
• Ds2=Dr2+r2Dφ2+Dz2{\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ varphi ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ { 2}}en coordenadas cilíndricas ;(r,φ,z){\ Displaystyle (r, \ varphi, z)}
• Ds2=Dρ2+ρ2Dθ2+ρ2pecado2⁡θDφ2{\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} \ rho ^ {2} + \ rho ^ {2} \ mathrm {d} \ theta ^ {2} + \ rho ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi ^ {2}}en coordenadas esféricas  ;ρ,θ,φ{\ Displaystyle \ rho, \ theta, \ varphi}

En un espacio euclidiano de n dimensiones

Igualmente :

• Ds2=DX12+DX22+...+DXno2{\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} x_ {1} ^ {2} + \ mathrm {d} x_ {2} ^ {2} + ... + \ mathrm {d } x_ {n} ^ {2}}en coordenadas cartesianas .(X1,X2,...,Xno){\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}

Para dar a estas fórmulas un significado riguroso, sería necesario introducir las nociones generales de forma cuadrática y tensor métrico . Sin embargo, para obtener las fórmulas habituales, basta manipular la interpretación en términos de elementos infinitesimales de longitud.

Abscisa curvilínea

Se hace una introducción más cuidadosa de la abscisa curvilínea que es la cantidad s ya encontrada en fórmulas como . Ds2=DX2+Dy2+Dz2{\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ {2}}

Se supone que el arco parametrizado f es de clase y regular (vector derivado distinto de cero en cada punto), con valores en un espacio euclidiano . Nos damos un punto de referencia y llamamos a la abscisa curvilínea originalVS1{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}t0{\ Displaystyle t_ {0}}t0{\ Displaystyle t_ {0}}

s(t)=∫t0t‖DF→(τ)Dτ‖Dτ{\ Displaystyle s (t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {f}} (\ tau)} {\ mathrm { d} \ tau}} \ right \ | \ mathrm {d} \ tau}

Esta cantidad existe como primitiva de una función continua. Se corresponde con la longitud de la curva entre y t , con una señal que indica si estamos antes o después del punto de origen. t0{\ Displaystyle t_ {0}}

Vector de unidad tangente

Si el parámetro t se interpreta como tiempo, el vector derivado se convierte en un vector de velocidad. Su norma es v velocidad escalar. Por tanto, es de la forma

DF→Dt=vT→ con v=DsDt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {f}}} {\ mathrm {d} t}} = v {\ overrightarrow {T}} \ qquad {\ hbox {with}} v = { \ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} \ mathrm {t}}}}

El vector así introducido se denomina vector unitario tangente . Está dirigido en la dirección del movimiento. T→{\ displaystyle {\ overrightarrow {T}}}

Efecto de un cambio de parámetro

Cuando cambiamos el parámetro respetando la orientación, las nociones de abscisa curvilínea y longitud no cambian. Esto se puede ver usando la fórmula para cambiar la variable en la integral que define s . De repente, el concepto de vector unitario tangente tampoco ha cambiado.

Ajuste normal

En particular, se puede elegir como parámetro la propia abscisa curvilínea.

En esta nueva configuración, llamada configuración normal , el vector derivado es de norma 1 en cada punto. Por tanto, el arco se atraviesa a una velocidad uniforme.

Lo que da otra interpretación del vector unitario tangente: es el vector de velocidad que se obtiene reparametrándolo por la abscisa curvilínea.

DF→Ds=T→(s){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {f}}} {\ mathrm {d} s}} = {\ overrightarrow {T}} (s)}

Luego podemos construir los otros elementos del marco de referencia de Frenet e introducir la noción de curvatura .

Ver también

• Geometría diferencial clásica
• Integral curvilínea