Evento (probabilidades)

En la teoría de la probabilidad , un evento relacionado con un experimento aleatorio es un subconjunto de los posibles resultados de ese experimento (es decir, un cierto subconjunto del universo relacionado con el experimento). Dado que un evento a menudo se define mediante una proposición, debemos poder decir, conociendo el resultado del experimento aleatorio, si el evento se realizó o no durante este experimento.

Por ejemplo, considere el experimento aleatorio de lanzar un dado de 6 caras. Su resultado viene dado, cuando el dado se detiene, por el número de puntos que lleva la cara superior del dado. El conjunto de posibles resultados de una tirada es, por tanto, el conjunto {1,2,3,4,5,6}. En el sentido indicado anteriormente, el conjunto {2,4,6}, que es un subconjunto de los posibles resultados, constituye un evento. También se puede formular en intención mediante la proposición: obtener un resultado uniforme .

Si tiramos los dados y obtenemos 5 como resultado, diremos que no se lleva a cabo el evento para obtener un resultado par . Intencionalmente, esto se justifica por el hecho de que 5 no es par. De acuerdo con el enfoque de conjuntos, se justifica por el hecho de que . Por otro lado, si obtenemos 2 como resultado, diremos que se lleva a cabo el evento que obtiene un resultado par , porque 2 es par o porque . Podemos retener que de acuerdo con la visión establecida, un evento se realiza mediante un experimento si y solo si el resultado de este experimento pertenece al evento (como un todo). 5∉{2,4,6}{\ Displaystyle 5 \ notin \ {2,4,6 \}}2∈{2,4,6}{\ Displaystyle 2 \ in \ {2,4,6 \}}

La visión de conjunto es más relevante que la visión intencional cuando queremos describir con toda generalidad las combinaciones de eventos, sus probabilidades, etc. Por ejemplo, si A y B son dos eventos, el evento conjunto, designados para la propuesta A y B corresponde a la intersección SEt-: . Todavía en el ejemplo de una tirada, sabiendo que el evento la obtención de un mayor resultado que 3 es el conjunto {4,5,6}, el evento conjunto obtención de un mayor resultado incluso que 3 es el conjunto: . Lo contrario de un evento es su complemento en el conjunto de posibilidades. Para la tirada, obtener un resultado que no es par es el complemento de {2,4,6} en {1,2,3,4,5,6} es decir el conjunto {1,3,5} . Finalmente, la visión de conjunto también es conveniente para definir la probabilidad de un evento, ya que es igual (en el caso discreto), a la razón del cardinal del evento (como un conjunto) al cardinal del conjunto de posibles resultados. Para nuestro ejemplo de una tirada de dado: A∩B{\ Displaystyle A \ cap B}{2,4,6}∩{4,5,6}={4,6}{\ Displaystyle \ {2,4,6 \} \ cap \ {4,5,6 \} = \ {4,6 \}}

PAG(obtener un resultado uniforme)=vsarD({2,4,6})vsarD({1,2,3,4,5,6})=36=0,5{\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ text {obtener un resultado par}}) = {\ frac {card (\ {2,4,6 \})} {card (\ {1,2,3,4 , 5,6 \})}} = {\ frac {3} {6}} = 0.5}

Definición

Dejar ser el universo de un experimento aleatorio , una tribu en , y el espacio probabilizable así constituido. Cualquier parte de la que pertenezca a la tribu se denomina evento . Ω{\ Displaystyle \ Omega}A{\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}Ω{\ Displaystyle \ Omega}(Ω,A){\ Displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}} \ right)}Ω{\ Displaystyle \ Omega}A{\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}

Si el evento consta de un solo elemento, entonces hablamos de un evento elemental .

Casos particulares

El universo es un evento que reúne todos los resultados posibles, llamado un evento determinado . Ω{\ Displaystyle \ Omega}

El conjunto vacío es un evento, llamado evento imposible . ∅{\ Displaystyle \ emptyset}

Para todo lo que pertenece a , que representa un resultado posible, el singleton es un evento, llamado evento elemental . ω{\ Displaystyle \ omega}Ω{\ Displaystyle \ Omega} {ω}{\ Displaystyle \ {\ omega \}}

Ejemplos de

Suponga que el experimento aleatorio considerado es el lanzamiento de una moneda. El universo de la experiencia tiene dos resultados posibles, cara y cruz , y podemos definir para esta experiencia una tribu de cuatro eventos: Ω{\ Displaystyle \ Omega}

1. el evento elemental { pila };
2. el evento elemental { cara };
3. el evento cierto = { cara , cruz }, es decir, sacar cara o cruz  ;Ω{\ Displaystyle \ Omega}
4. el evento imposible , es decir, no lanzar cara o cruz .∅{\ Displaystyle \ varnothing}

Supongamos que tenemos 52 cartas y dos comodines en una mesa y robamos una sola carta. El dibujo de una carta en particular en el universo de 54 cartas, entonces representa un evento elemental . Los subconjuntos (incluidos los eventos elementales) se denominan simplemente "eventos". Los eventos de este universo pueden ser:

• Conjunto "Obtener un rey" compuesto por los 4 reyes (conjunto de cuatro eventos elementales),
• "Obtén una tarjeta de corazón" (juego de 13 tarjetas)
• "Consigue una figura" (juego de 12 cartas).

Suponga que una aseguradora de automóviles considera una muestra de automovilistas que presentan ciertos riesgos. Los eventos que se considerarán pueden exceder o no un monto total de reclamos mayor que el deducible. Por tanto, la noción de evento en probabilidades no es idéntica a la noción de resultado. La definición de eventos puede depender, por ejemplo, de nuestra concepción del riesgo (o viceversa de la suerte).

Establecer operaciones en eventos

Siendo los eventos conjuntos de resultados, podemos aplicarles todas las operaciones de conjuntos habituales.

Considere dos eventos. A,B∈A{\ Displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}

• Hacemos un llamado complementaria a , señalado o , el conjunto de contingencias que no pertenecen a . A{\ Displaystyle A}AVS{\ Displaystyle A ^ {C}}A¯{\ displaystyle {\ bar {A}}}A{\ Displaystyle A}
  • AVS{\ Displaystyle A ^ {C}}se logra si y solo si no se logra.A{\ Displaystyle A}
  • Formalmente, tenemos: .AVS={ω∈Ω∣ω∉A}{\ Displaystyle A ^ {C} = \ {\ omega \ in \ Omega \ mid \ omega \ notin A \}}
• Se llama unión , o reencuentro , de los hechos, anotado (léase "A unión B"), el reencuentro de sus contingencias. A∪B{\ Displaystyle A \ cup B}
  • A∪B{\ Displaystyle A \ cup B} se realiza si ocurre uno de los dos eventos (o ambos).
  • Formalmente, tenemos: .A∪B={ω∈Ω∣(ω∈A)∨(ω∈B)}{\ Displaystyle A \ cup B = \ {\ omega \ in \ Omega \ mid (\ omega \ in A) \ lor (\ omega \ in B) \}}
• Llamamos intersección , o conjunción , de los eventos, anotados (léase “A inter B”), al conjunto de contingencias que les son comunes. A∩B{\ Displaystyle A \ cap B}
  • A∩B{\ Displaystyle A \ cap B} se realiza si los dos eventos se realizan simultáneamente.
  • Formalmente, tenemos: .A∩B={ω∈Ω∣(ω∈A)∧(ω∈B)}{\ Displaystyle A \ cap B = \ {\ omega \ in \ Omega \ mid (\ omega \ in A) \ land (\ omega \ in B) \}}
• Llamamos al conjunto de diferencias de los eventos, anotados (léase “A menos B”), al conjunto de eventualidades que pertenecen pero no a . A∖B{\ Displaystyle A \ setminus B}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}
  • A∖B{\ Displaystyle A \ setminus B}se logra si se logra mientras no se logra.A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}
  • Formalmente, tenemos: .A∖B={ω∈A∣ω∉B}{\ Displaystyle A \ setminus B = \ {\ omega \ in A \ mid \ omega \ notin B \}}

Establecer relaciones entre eventos

Considere dos eventos. Entonces: A,B∈A{\ Displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}

• Se dice que los eventos son inconexos si no tienen una eventualidad común, es decir, si .A∩B=∅{\ Displaystyle A \ cap B = \ varnothing}

• Decimos que está incluido en , y notamos si todas las contingencias de pertenecen a . La realización del evento implica entonces automáticamente la del evento .A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}A⊂B{\ Displaystyle A \ subconjunto B}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}

Establecer expresiones de eventos aleatorios

Sean A, B, C tres eventos.

Crescendo, seis casos probables se presentan al experimento:

• No ocurre ningún evento:

A¯ ∩ B¯ ∩ VS¯ {\ Displaystyle {\ bar {A}} \ \ cap \ {\ bar {B}} \ \ cap \ {\ bar {C}} \}

• Ocurre exactamente un evento:

(A∖(B∪VS)) ∪ (B∖(VS∪A)) ∪ (VS∖(A∪B)) {\ Displaystyle \ left (A \ backslash (B \ cup C) \ right) \ \ cup \ \ left (B \ backslash (C \ cup A) \ right) \ \ cup \ \ left (C \ backslash (A \ copa B) \ derecha) \}

• Ocurre al menos un evento:

A ∪ B ∪ VS {\ Displaystyle A \ \ cup \ B \ \ cup \ C \}

• Dos eventos para que ocurran más :

A¯ ∪ B¯ ∪ VS¯ {\ Displaystyle {\ bar {A}} \ \ cup \ {\ bar {B}} \ \ cup \ {\ bar {C}} \}

• Ocurren al menos dos eventos:

(B∩VS) ∪ (VS∩A) ∪ (A∩B) {\ Displaystyle \ left (B \ cap C \ right) \ \ cup \ \ left (C \ cap A \ right) \ \ cup \ \ left (A \ cap B \ right) \}

• Los tres eventos ocurren:

 A ∩ B ∩ VS {\ Displaystyle \ A \ \ cap \ B \ \ cap \ C \}

(Las fórmulas se pueden generalizar a un conjunto N de eventos).