Ecuación de Cole-Cole

La ecuación de Cole-Cole es un modelo de relajación que se utiliza a menudo para describir la relajación dieléctrica de los polímeros .

Es dado por

ε∗(ω)=ε∞+εs-ε∞1+(Iωτ)1-α{\ Displaystyle \ varepsilon ^ {*} (\ omega) = \ varepsilon _ {\ infty} + {\ frac {\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}} {1+ (i \ omega \ tau ) ^ {1- \ alpha}}}}

donde es la constante dieléctrica compleja (o permitividad relativa), y son las constantes dieléctricas "estática" y "frecuencia infinita", es la frecuencia angular y es un tiempo característico. ε∗{\ Displaystyle \ varepsilon ^ {*}}εs{\ Displaystyle \ varepsilon _ {s}}ε∞{\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ infty}}ω{\ Displaystyle \ omega}τ{\ Displaystyle \ tau}

El parámetro , que toma un valor entre 0 y 1, se usa para describir diferentes formas espectrales. Cuando , el modelo Cole-Cole se reduce al modelo Debye . Cuando , la relajación se estira , es decir, abarca un rango más amplio que la relajación de Debye. α{\ Displaystyle \ alpha}α=0{\ Displaystyle \ alpha = 0}α>0{\ Displaystyle \ alpha> 0}

La separación de la constante dieléctrica compleja fue dada en el artículo original por Cole y Cole de la siguiente manera: ε(ω){\ Displaystyle \ varepsilon (\ omega)}

ε′=ε∞+(εs-ε∞)1+(ωτ)1-αpecado⁡απ/21+2(ωτ)1-αpecado⁡απ/2+(ωτ)2(1-α){\ displaystyle \ varepsilon '= \ varepsilon _ {\ infty} + (\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}) {\ frac {1 + (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2} {1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2 + (\ omega \ tau) ^ {2 (1- \ alpha) }}}}ε″=(εs-ε∞)(ωτ)1-αporque⁡απ/21+2(ωτ)1-αpecado⁡απ/2+(ωτ)2(1-α){\ Displaystyle \ varepsilon '' = {\ frac {(\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}) (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ cos \ alpha \ pi / 2} {1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2 + (\ omega \ tau) ^ {2 (1- \ alpha)}}}}

Estas últimas expresiones se traducen, después de la introducción de las funciones hiperbólicas , por

ε′=ε∞+12(ε0-ε∞)[1-pecado⁡((1-α)X)aporrear⁡((1-α)X)+porque⁡απ/2]{\ displaystyle \ varepsilon '= \ varepsilon _ {\ infty} + {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {0} - \ varepsilon _ {\ infty}) \ left [1 - {\ frac { \ sinh ((1- \ alpha) x)} {\ cosh ((1- \ alpha) x) + \ cos \ alpha \ pi / 2}} \ right]}ε″=12(ε0-ε∞)porque⁡απ/2aporrear⁡((1-α)X)+pecado⁡απ/2{\ displaystyle \ varepsilon '' = {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {0} - \ varepsilon _ {\ infty}) {\ frac {\ cos \ alpha \ pi / 2} {\ cosh ((1- \ alpha) x) + \ sin \ alpha \ pi / 2}}}

Donde . X=en⁡(ωτ){\ Displaystyle x = \ ln (\ omega \ tau)}

Encontramos las expresiones de Debye cuando . α=0{\ Displaystyle \ alpha = 0}

La relajación Cole-Cole constituye un caso especial de relajación Havriliak-Negami cuando el parámetro de simetría ( β ) es igual a 1, es decir, cuando los picos de relajación son simétricos. Otro caso especial de relajación de Havriliak-Negami ( β <1, α = 1 ) se conoce como “  relajación de Cole-Davidson  ”.

Referencias

• (fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “  Ecuación de Cole - Cole  ” ( ver lista de autores ) .

1. Kenneth S. Cole y Robert H. Cole , "  Dispersión y absorción en dieléctricos: I - Características de corriente alterna  ", Journal of Chemical Physics , vol.  9, n o  4,1941, p.  341–351 ( DOI  10.1063 / 1.1750906 , Bibcode  1941JChPh ... 9..341C )

• KS Cole y RH Cole , "  Dispersión y absorción en dieléctricos - I Características de corriente alterna  ", J. Chem. Phys. , vol.  9, n o  4,1941, p.  341–352 ( DOI  10.1063 / 1.1750906 , Bibcode  1941JChPh ... 9..341C )
• KS Cole y RH Cole , "  Dispersión y absorción en dieléctricos - II Características de corriente continua  ", Journal of Chemical Physics , vol.  10, n o  21942, p.  98-105 ( DOI  10.1063 / 1.1723677 , Bibcode  1942JChPh..10 ... 98C )
• YP Kalmykov , WT Coffey , DSF Crothers y SV Titov , "  Modelos microscópicos para la relajación dieléctrica en sistemas desordenados  ", Physical Review E , vol.  70, n o  4,2004, p.  041103 ( PMID  15600393 , DOI  10.1103 / PhysRevE.70.041103 , Bibcode  2004PhRvE..70d1103K )

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